Cosa unisce le geometrie non euclidee, l’olocausto, la matematica e i paradossi?


di Francesco D’Isa

Questo articolo inizia con un’antica domanda, introduce una persona inusuale e infine propone una risposta.

La domanda è conosciuta come paradosso del sorite ed è generalmente attribuita al filosofo greco del IV sec a.C. Eubulide di Mileto. Si può sintetizzare così: un granello non è un mucchio di sabbia. Con l’aggiunta di un secondo granello neppure, col terzo nemmeno eccetera; per cui, o il mucchio non si costituisce mai o, se si ammette che si costituisce per l’aggiunta di un dato granello, si deve concludere che è stato quel solo granello a far nascere il mucchio. A questa domanda sono state date molte risposte nei secoli successivi, ma nessuna sufficientemente persuasiva da convincere chiunque.

Passiamo adesso alla persona inusuale cui si accennava in apertura, Imre Toth, filosofo e storico della matematica, nato nel 1921 in Transilvania da una famiglia ebrea. Come sa chiunque abbia letto Il lungo cammino da me a me (Quodlibet), ascoltare l’autore che parla della propria vita conferisce a una storia i cui testimoni sono quasi tutti scomparsi la vividezza del racconto diretto. Attraverso le interviste dell’amico Péter Várdy, infatti, è possibile ritrovare i dettagli che, forse d’ostacolo in una narrazione storica accademica, sono indispensabili per mantenere più viva la memoria.

Per citarne uno, durante la seconda guerra mondiale, quando agli ebrei viene ordinato di abbandonare le proprie case senza portar via niente, il padre di Toth lascia nella propria abitazione il seguente biglietto, indirizzato “al Vincitore”:

La prego, io sono vecchio, ho 56 anni… ciò che ho messo insieme nella mia vita, questi libri, appartengono a mio figlio. Prego di non toccarli. Quando i Romani hanno occupato Siracusa hanno trovato il vecchio Archimede che disegnava cerchi sulla sabbia. E questi ha detto al soldato che stava per ucciderlo di non toccare i suoi cerchi.

Quando il figlio ritorna a casa, trova la propria abitazione completamente svuotata di mobili, suppellettili e quant’altro, persino le assi del pavimento sono divelte alla ricerca di gioielli nascosti. Ma i libri ci sono tutti, vuoi per clemenza o per disinteresse.


L’uomo tratta i prigionieri senza odio, ma attraverso il suo sguardo il detenuto vive la sensazione di cui parla anche Primo Levi, cioè “di essere divenuto un oggetto”.


Sottoposto a soprusi sempre più gravi per via delle proprie origini, Toth critica agli ebrei di accettare le vessazioni senza ribellarsi – una passività che non gli appartiene affatto, considerati gli episodi di gioventù in cui il rifiuto dell’ingiustizia sconfina nell’assenza di prudenza. A ventun anni, ad esempio, scrive su un muro: “Abbasso il fascismo, abbasso la guerra, morte ai fascisti” e dopo un mese di interrogatori e torture da parte della polizia del regime legalista ungherese, viene condannato a sei anni di prigionia. Il carcere si rivela però un’inattesa protezione dalle leggi razziali e grazie ad esso il filosofo resta invisibile ai tedeschi fino all’occupazione, momento in cui i nazisti vengono informati che “alla deportazione erano scampati degli ebrei molto astuti”, nascosti in prigione tra i condannati comuni. Davanti alla cella di Toth si presenta un ufficiale elegante, con guanti e monocolo. L’uomo tratta i prigionieri senza odio, ma attraverso il suo sguardo il detenuto vive la sensazione di cui parla anche Primo Levi, cioè “di essere divenuto un oggetto”. Con una firma del nazista i prigionieri vengono destinati al campo di sterminio di Auschwitz, ma un altro ufficiale, un ungherese antinazista che era venuto a sapere dello sbarco degli Alleati, commuta il trasferimento in una salvifica condanna ai lavori forzati. Finita la guerra, l’autore viene considerato “il più giovane eroe della classe operaia nella Resistenza” e si illude di conseguenza di poter esprimere le proprie critiche nei confronti del nuovo regime, che già dava segni di deviazione dalle norme morali che egli associava all’idea del socialismo. All’inizio gli viene rinfacciato di abusare del proprio passato, poi di collaborare col “nemico di classe”, tanto che il filosofo si vede costretto a spostare il proprio fulcro di attività altrove, presso università europee e americane.

Il campo di studio principale di Toth sono le geometrie non Euclidee e i paradossi di Zenone, temi che affronta con precisione e competenza, per arrivare a conclusioni difficilmente riassumibili. Di questi testi, molto specialistici e talvolta introvabili, non possiamo dire molto, se non, a titolo di esempio, che in I paradossi di Zenone nel Parmenide di Platone lo studioso indaga “lo statuto ontologico della lunghezza della diagonale del quadrato” per arrivare alla conclusione che “il non essere è conoscibile e in un modo o nell’altro siamo costretti ad attribuirgli l’essere”. Se non vi è molto chiaro sappiate che è la parte più facile del testo – ma lo stesso autore si accorge della difficoltà del tema grazie ai suoi studenti (addormentati) e si avventura in sperimentazioni più ardite ma anche più accessibili. Tra queste la più originale è No! Libertà e verità, creazione e negazione (Bompiani), un Palinsesto di parole e immagini nella forma di dialogo immaginario, che coinvolge acronicamente centinaia di autori, da Platone a Husserl, passando per Tommaso d’Aquino, Leibniz, Kant, Dante, Tristan Tzara, Thomas Mann, George Orwell, Apollinaire, Descartes, Russell, Gauss, Saccheri, Vico, Croce e molti autori meno celebri, tratti da fonti talvolta poco reperibili.


La scoperta però va oltre la geometria, perché assieme al quinto assioma mina la stessa ovvietà dell’ovvio.


L’avversione di Toth per il nazismo, che non riconosce agli ebrei di essere “un sottoinsieme della popolazione tedesca”, si ritrova anche in ambito matematico, nei confronti di chi nega una ragion d’essere a entità come i numeri irrazionali. Nelle sue stesse parole:

Anche Gauss li chiamava umbra umbrae, in opposizione a Carnot. Lui fu il primo a protestare contro i termini immaginario, fittizio, impossibile, sofistico, e, per primo, attribuì lo stesso valore ontico di esistenza attuale ai numeri così denominati che ai numeri detti reali. Motivava la sua decisione con gli uguali diritti di cittadinanza nell’universo degli enti matematici dei quali, secondo lui, questi numeri erano stati, fino a quel momento, ingiustamente privati. Metafora politica anche molto bella, senza dubbio, perché era l’epoca in cui, in Germania, si discuteva se bisognasse accordare uguali diritti di cittadinanza agli ebrei, uguali diritti dei quali Gauss era sostenitore incondizionato.

Ma le entità che più generano scandalo intellettuale – e conseguente  discriminazione – sono le geometrie non euclidee, di cui sarà bene dare una breve descrizione prima di proseguire.

Com’è noto la geometria di Euclide si basa su alcuni assiomi universalmente accettati per via della loro ovvietà. Uno di questi però, il quinto, sembrava un po’ meno ovvio persino a Euclide ed è dal suo rifiuto che nascono, in tempi relativamente recenti, delle geometrie non euclidee. Facciamo un esempio: la logica e l’educazione scolastica vi avranno insegnato che gli angoli dei rettangoli sono tutti retti. Niente di più ovvio. Ebbene, se il piano dove giace il rettangolo è sferico, come nella figura sottostante, gli angoli hanno più di 90°.

Anche con le rette succedono cose strane, e pure coi triangoli.

Questa geometria non euclidea, detta sferica, viene ideata dal matematico Bernhard Riemann nella seconda metà dell’ottocento, ma già Aristotele (una scoperta che dobbiamo a Toth) abbozza delle geometrie diverse da quelle che nel XIX secolo verranno chiamate “euclidee”. Può sembrare banale, ma all’epoca la scoperta desta un tale scandalo che lo stesso Gauss, che già in vita è un’indiscussa autorità in materia, confessa in una lettera privata che non avrebbe pubblicato nulla sull’argomento per timore delle “strida dei beoti”.


È stato questo il momento più difficile nello sviluppo del pensiero non euclideo: accettare la simultaneità di due assiomi che si contraddicono formalmente nonostante siano entrambi veri, accettare l’esistenza e la realtà attuale di due universi opposti.


Il motivo di tale sconforto sembra poco giustificato, se si pensa alla questione in termini di rette e triangoli. Se non si è dei fan di Euclide, infatti, una reazione abbastanza plausibile potrebbe ben essere un sobrio “Ah, ok”. La scoperta però va oltre la geometria, perché assieme al quinto assioma mina la stessa ovvietà dell’ovvio. Nelle parole di Toth:

È stato questo il momento più difficile nello sviluppo del pensiero non euclideo: accettare la simultaneità di due assiomi che si contraddicono formalmente nonostante siano entrambi veri, accettare l’esistenza e la realtà attuale di due universi opposti, dove ambedue sono mondi onticamente chiusi, vale a dire contengono ambedue separatamente la totalità di tutti gli oggetti geometrici esistenti. L’atto fondatore della Geometria non euclidea consiste dunque nell’adesione a un principio profondamente metafisico: la pluralità dei mondi, la pluralità simultanea di verità opposte

Lo scandalo risiede dunque nel dimostrare la coesistenza degli opposti. Un’affermazione che può apparire innocua per via del suo carattere metafisico, ma non bisogna dimenticare che ogni metafisica ha delle conseguenze: quando Toth scrive che “Accettare le nuove teorie significa ammettere l’esistenza di più verità, tutte egualmente valide: la verità non è più una sola ma esistono più verità”, quel che fa è una radicale dichiarazione di uguaglianza. Così come il rifiuto di un assioma euclideo porta alla nascita di nuove geometrie, anche la libertà di “dire di no” assume un valore positivo, tanto che l’effetto collaterale dell’astratto percorso matematico-filosofico dell’autore è una sorta di legittimazione ontologica della rivolta. Così, in un periodo in cui in Europa l’opinione comune considera legittimo – se non ovvio – l’omicidio per chi professa un’opinione controcorrente o appartiene a una determinata etnia, nasce un pensiero che sconfessa in modo inconfutabile la radice stessa di qualunque totalitarismo. Con Toth, la negazione, e dunque la diversità, è necessaria.

Torniamo ora al paradosso di cui si parlava in apertura. Se lo analizziamo con lo sguardo non euclideo di Toth, l’enigma si rivela essere fondato sulla natura intrinsecamente relazionale di qualunque identità. Il mucchio di sabbia è un termine riferito a una gamma flessibile, relativa all’osservatore e al momento dell’osservazione. Possiamo percepire diversamente un gruppo di granelli rispetto ad altri, allo stesso modo in cui una medesima quantità di denaro sembra scarsa a un ricco e abbondante a un povero. Se proprio volessimo essere precisi, si dovrebbe dire che il termine mucchio indica un numero da x a y di granelli nell’uso che fa, ha fatto e farà della parola qualunque osservatore, in qualunque epoca, di qualunque mondo, in qualunque universo. Ma poi si dovrebbe spiegare quando un granello è un granello…

Grazie alla radicale dichiarazione di libertà di Toth capiamo che tutto può essere altrimenti. Certo, è più facile riconoscere l’intrinseca complessità di un mucchio di sabbia anziché di una mela che cade, ma è comunque possibile – anzi, doveroso.


Francesco D’Isa  (Firenze, 1980), di formazione filosofo e artista visivo, dopo l’esordio con I. (Nottetempo, 2011), ha pubblicato romanzi come Anna (effequ 2014), Ultimo piano (Imprimatur 2015), La Stanza di Therese (Tunué, 2017) e saggi per Hoepli e Newton Compton. Direttore editoriale dell’Indiscreto, scrive e disegna per varie riviste.

In copertina: Piero Gilardi, Sassi bianchi, 1996, Poliuretano espanso – courtesy by Pananti.