Da molti ritenuto un vero rompicapo o un assurdo logico-matematico, il problema geometrico della quadratura del cerchio finisce per interessare anche il più significativo dei geni del Rinascimento: Leonardo da Vinci.


In copertina: The Rule of the Circle, The Rule of the Game Geta Bratescu Date: 1985

(Questo testo è tratto da “Leonardo – sulla quadratura del cerchio”, di Anna Baldi. Ringraziamo Armillaria per la gentile concessione)

di Peter Hohenstatt

Leonardo da Vinci, genio universale del Rinascimento, nel giorno 30 novembre dell’anno 1504 scrive sul suo quaderno:

La notte di santo Andre’ trovai il fine della quadratura del cerchio, e in fine del lume e della notte e della carta dove scrivevo fu concluso, al fine dell’ora.

Purtroppo Leonardo non scrive, insieme alla nota di cronaca, quale sia questa soluzione della quadratura. Una mancanza tanto rilevante da condizionare già allora gli sviluppi del problema e ridestare l’urgenza di una discussione al riguardo.

Nell’anno 1508 Leonardo scrive su un altro foglio, oggi contenuto nel Codice Atlantico (f. 537 v), diverse note personali riguardanti un suo prossimo libro dal titolo De ludo geometrico: tra i temi elencati, tredici soluzioni della quadratura del cerchio, anch’esse non ancora identificate prima della ricerca qui presentata. L’obiettivo di questo testo consisterà nel visualizzare il complesso insieme di conoscenze, pensieri, riflessioni e argomenti favorevole alla comprensione generale del tema e, unitamente, nel chiarire perché siano trascorsi 500 anni prima che il contributo di Leonardo venisse decifrato, ricostruito e sostanzialmente compreso.

Problemi geometrici dell’antichità

La quadratura del cerchio è uno dei tre famosi problemi geometrici dell’antichità rimasti privi di una soluzione convalidata ben oltre il Rinascimento. Anche all’epoca questa circostanza contribuiva notevolmente ad accrescere il loro fascino. In particolare, fu proprio il tema della quadratura a diventare, dopo il Rinascimento, un’ossessione sia per studiosi che per dilettanti. Basti pensare che nel 1775 l’Académie Française di Parigi fu obbligata ad adottare una risoluzione che stabiliva di non esaminare più le dimostrazioni dei tre problemi geometrici a causa della quantità eccessiva di richieste di verifica ricevute ogni anno.

L’interesse degli intellettuali incontrava un brusco arresto nel 1882 quando Ferdinand von Lindemann, scienziato e professore dell’Università di Königsberg, dimostrò che la quadratura del cerchio era impossibile, argomentando come la costante π, riguardante il rapporto tra circonferenza di un cerchio e il suo diametro, fosse un numero irrazionale. Un numero irrazionale è caratterizzato dal fatto che le cifre decimali non hanno mai fine, come nel caso di un numero periodico, con la differenza che nel numero irrazionale la sequenza delle cifre decimali non è prevedibile. Ne consegue che il calcolo della superficie del cerchio (il raggio al quadrato moltiplicato per la costante π) porta a un valore irrazionale e quindi non esattamente quantificabile. All’impossibilità di un calcolo per la superficie esatta del cerchio si collega quella di derivare il valore esatto della superficie del quadrato corrispondente. Ciò, infatti, implicherebbe di poter risolvere la radice di un numero irrazionale (radice di π): un calcolo impossibile senza ricorrere all’approssimazione.

Nonostante la fine di un sogno intellettuale durato più di 2000 anni, l’espressione metaforica ‘quadratura del cerchio’ indica ancora oggi un problema privo di soluzione o impossibile da risolvere.

Potremmo allora definire unicamente curiosità storica la ricerca di una soluzione alla quadratura?

Ci troveremmo di fronte a una risposta positiva se, pur considerando le riserve di Lindemann, non si nascondesse un altro aspetto più ampio e sintomatico della modernità: il dominio regnante del ‘numero’, emblema di una vera patologia.

Non avendo qui l’occasione di ripercorrere in dettaglio l’evoluzione di questo vasto e difficile problema, ci si limiterà a segnalare la differenza tra l’impostazione quantitativa e qualitativa, espressione della stessa differenza esistente tra algebra (aritmetica) e geometria. Tutto questo si rivelerà poi d’aiuto per poter comprendere il pensiero di Leonardo e, in particolare, il suo contributo al tema della quadratura.

Filosofia e Geometria

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Il filosofo Immanuel Kant chiarirà nella Critica della ragione pura del 1781 (1787) che l’uomo vive in un continuo di spazio e di tempo che determina il suo modo di percepire e pensare, così come geometria e aritmetica sono strumenti necessari a impostare una relazione con lo spazio e con il tempo. Allo stesso modo, la trasformazione del cerchio in un quadrato è un problema spaziale, almeno così lo consideravano gli antichi greci: le stesse modalità di percezione dello spazio e del tempo intervenivano in epoca classica, permettendo in tal modo di immaginare la trasformazione del cerchio in un quadrato come un problema di continuità spaziale.

In particolare, già seguendo la posizione teorica di Aristotele, si relazionava il numero al tempo e al movimento. Anche per Aristotele il tempo è un continuo ed è percepibile esclusivamente attraverso un movimento – ed è come il movimento direzionale – ma misurabile solo marcando una serie di ‘istanti’ nel flusso del tempo come fossero una sequenza di punti posizionati su una linea e poi enumerandoli.

Ma Aristotele percepisce e interpreta la natura soprattutto in chiave geometrica, anche perché la geometria tratta della visione, la percezione più nobile, detta in greco logos opticos, come riportava l’architetto romano Vitruvio nel primo libro di Dell’architettura. E, sempre secondo Aristotele, è la percezione stessa l’origine della conoscenza (la possibilità stessa di imparare), come le immagini ricevute dalla percezione sono alla base del ragionamento.

I due filosofi greci più influenti della storia, Platone e Aristotele, rintracciavano nella geometria il modello per eccellenza nella generazione della conoscenza e del sapere riguardanti la natura.

Una tradizione assai nota, e probabilmente non molto antica, tramanda che all’ingresso dell’Accademia platonica si leggesse l’iscrizione: ‘Non entri l’inesperto in geometria’. Si tratta quasi certamente di una tradizione priva di qualsiasi fondamento di verità storica ma che, comunque, merita di essere ricordata perché assai bene coglie lo spirito del pensiero platonico e altrettanto bene rappresenta il progetto educativo proposto dall’Accademia e confermato dallo stesso Platone in numerosi luoghi dei dialoghi.

Anche Galileo Galilei ha sottolineato il ruolo privilegiato della geometria scrivendo:

La filosofia naturale è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi, io dico l’universo, ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua e conoscer i caratteri nei quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola.

Aristotele e i Sofisti

Aristotele, seguendo la tradizione di Platone, tenta di smascherare la presunta conoscenza dei Sofisti (sophòs, saggio), retori di mestiere e abili nell’arte della parola al punto da giustificare e/o negare posizioni teoriche in opposizione senza prestare alcuna attenzione alla verità. Al contrario, presso l’Accademia platonica, i filosofi puntavano a distinguersi per una conoscenza della realtà secondo verità e sempre argomentata. È proprio l’etimologia della parola filosofia a testimoniare questo rapporto come amore (filo) per il sapere (sofia), che fa del ‘filosofo’ un ‘amante della sapienza’ orientato secondo un desiderio di vera conoscenza.

Per affrontare i Sofisti, Platone utilizza il metodo dialettico socratico, che prevede di guidare il discorso con domande, prima di indebolire la posizione dell’avversario rilevando contraddizioni. Naturalmente, una grande difficoltà consiste nella preparazione e soprattutto nell’abilità di porre le giuste domande. Al contrario, nella metodologia aristotelica,

in particolare negli scritti logici (il cosiddetto Organon), Aristotele punta all’individuazione di procedimenti formali per il ragionamento prima di raggiungere un metodo oggettivo fondato su regole universali e orientato alla ricerca della verità. Tutto ciò partendo dalla facoltà di poter distinguere tra verità e falsità, tra certezza ed errore. Pensiero, linguaggio ed Essere sono spesso posti in una relazione strutturata per individuare le leggi di funzionamento della ragione, a partire dalle quali sarebbe stato possibile assicurare validità, certezza e chiarezza ai ragionamenti, così come alle argomentazioni. Così Aristotele poteva asserire:

Il sillogismo è propriamente un discorso (logos) in cui, posti alcuni elementi, risulta per necessità, a causa degli elementi stabiliti, qualcosa di differente da essi. Si ha così anzitutto dimostrazione, quando il sillogismo è costituito e deriva da elementi veri e primi.

Individuando nel sillogismo un’operazione di metodo, sempre corretta e in grado di creare una certa connessione formale tra proposizioni, si può prescindere inizialmente dalla verità delle proposizioni che la compongono. La generazione di una deduzione (sillogismo) segue una chiara struttura di natura logico-matematica: se a è b, e se b è c, allora a è c. È ovvio che le due premesse a è b e b è c devono essere di necessità conoscenze sicure, oltre a soddisfare ulteriori condizioni, come derivare da elementi veri e primi per poter generare una conclusione (a è c) vera, il cosiddetto sillogismo perfetto.

Aristotele definisce inoltre una restrizione applicativa affinché si possa costruire in modo appropriato un sillogismo: le premesse devono appartenere allo stesso campo di conoscenza oltre che derivare da elementi probabili, veri e primi: in altre parole, devono necessariamente essere congrui rispetto all’oggetto considerato, altrimenti il sillogismo è solo apparentemente probabile o vero. E proponendo un esempio matematico, può così ribadire che un problema geometrico non può essere argomentato aritmeticamente.

Tornando al tema esaminato, infatti, Aristotele contesta, in modo esemplare e in due trattati diversi, alcune soluzioni al problema geometrico della quadratura del cerchio come ‘soluzioni sofistiche’, i cosiddetti sillogismi eristici:

In realtà, le figure geometriche errate non producono delle argomentazioni eristiche (in tal caso infatti i paralogismi rispettano il modo di procedere caratteristico della geometria), e certo ciò non si verifica neppure quando un’errata figura geometrica, quella ad esempio tracciata da Ippocrate, riguarda una proposizione vera. Al contrario, il procedimento usato da Brysone per quadrare il cerchio – anche ammettendo che la quadratura del cerchio sia possibile – è sofistico in quanto non si adatta all’oggetto in questione. Di conseguenza, l’argomentazione eristica consiste sia nel sillogismo apparente che riguarda le proposizioni comuni, sia nel sillogismo che ha l’apparenza di adattarsi all’oggetto in questione; in quest’ultimo caso infatti, anche quando si tratta di un vero sillogismo, il riferimento all’oggetto è apparente, e l’argomentazione è quindi ingannevole ed ingiusta.

Così, ad esempio, è compito del geometra demolire la quadratura del cerchio eseguita con segmenti [procedimento adatto alla quadratura in quanto soluzione geometrica], ma non è suo compito demolire quella fatta da Antifonte [soluzione eristica similare a quella di Brysone].

Per questo, poiché la dimostrazione dell’impossibilità della quadratura del cerchio di Lindemann risulterebbe di natura aritmetica, essa sarebbe, almeno secondo Aristotele, ‘ingannevole e ingiusta’ perché non congrua rispetto all’oggetto in questione. Pertanto non rilevante per il problema geometrico della quadratura del cerchio.

Leonardo sembra anticipare il problema sollevato dalla dimostrazione di Lindemann di almeno 300 anni: «Ma questa calculazione vole essere geometrica, perché se la volessi fare per aritsmetrico sarebbe impossibile». Riferendosi implicitamente all’argomento sopra trattato, dimostra inoltre la sua profonda conoscenza di Aristotele.

Con queste due affermazioni di Aristotele si è già raggiunto un primo traguardo utile a insistere sulla differenza tra i risultati derivabili dai due approcci: pur convalidando l’impossibilità della quadratura del cerchio da un punto di vista aritmetico, il risultato matematico ottenuto da Lindemann non risulta pertinente in termini geometrici. La natura è essenzialmente sfocata e imprecisa dal punto di vista dell’aritmetica. L’uguaglianza quantitativa in senso aritmetico non esiste in natura anche se l’aritmetica, dopo Leonardo, è diventata il mezzo euristico più potente ed efficace per lo sviluppo di teorie sulla natura.

Per mitigare l’imprecisione presente in natura, l’ingegneria deve applicare tolleranze per poter tradurre i modelli aritmetici in realtà fisiche. La geometria, invece, riflette questa condizione di imprecisione già nella definizione dei principi includendo il suo principio primo: il punto.

[L’analisi si dipana in “Leonardo – sulla quadratura del cerchio”, (Armillaria) di cui abbiamo pubblicato parte dell’introduzione]


Peter Hohenstatt Laureato in Kommunikationsdesign presso la FH di Wuerzburg ed in filosofia e storia dell’arte alla FU di Berlino, ha lavorato per 12 anni come museografo in Germania, pubblicando articoli e monografie su Leonardo da Vinci e Raffaello Sanzio. Ha insegnato museografia alla facoltà di architettura dell’Università di Parma per 8 anni. Entrato a far parte del team Goppion nel 1998, è business developer delle aree di lingua tedesca, della Gran Bretagna, della Scandinavia, dell’Olanda, del Lussemburgo e del Belgio. Cura inoltre i rapporti con i grandi studi di architettura. Ha curato gli allestimenti presso il British Museum ed il V&A di Londra, Il Louvre di Parigi, l’Israel Museum di Jerusalem, la Pinakothek der Moderne di Monaco, il Rijksmuseum di Amsterdam, il Newseum di Washington, il MFA di Boston e lo Smithsonian di New York. È membro ICOM.