Come Pitagora, scoprendo l’armonia musicale, scoprì anche (e ignorò) la disarmonia del mondo.


(Questo testo è tratto da “Il quinto martello” di Daniel Heller-Roazen. Ringraziamo Quodlibet per la gentile concessione)

di Daniel Heller-Roazen

Saggio scienziato qual egli era, Pitagora sapeva di non potersi fidare delle sue orecchie; sapeva che gli organi di percezione possono svelare delle verità, ma era ben consapevole del fatto che possono anche indurre in errore. Nei suoi Fondamenti della musica, Boezio riferisce che Pitagora «non dava credito agli orecchi», poiché, essendo parti del corpo come tutte le altre, sono soggetti ad un incessante mutamento. Talvolta subiscono variazioni a causa di circostanze esterne e accidentali; talaltra, iniziano a discordare per necessità, come ad esempio quando invecchiano. Certamente Pitagora non avrebbe potuto aspettarsi di più dagli strumenti acustici creati dall’uomo. Gli strumenti musicali, per lui, erano «fonti di grande variabilità ed incostanza». Più di una volta aveva approfondito lo studio degli strumenti a corda. I toni delle corde potevano mutare per ragioni quasi troppo numerose per poter essere elencate. A seconda del materiale di cui sono costituite, a seconda della loro lunghezza e sezione, a seconda dell’aria che le circonda e della forza con la quale le si suona, le corde inevitabilmente produrranno suoni differenti. Pitagora aveva osservato che anche gli altri strumenti sono soggetti alle medesime obiezioni. La sola certezza, per quanto li concerne, è che presto o tardi essi debbono abbandonare «la condizione della loro precedente stabilità», determinando nei toni un percettibile cambiamento. Consapevole delle implicazioni di questi fatti, Pitagora aveva deciso di affrancarsi – e di affrancare le sue indagini – dalle inquietanti conseguenze delle cose sensibili. Avrebbe studiato le leggi del suono senza doverne affrontare la forma corporea, e grazie alla sola ragione avrebbe acquisito la conoscenza delle proprietà delle cose udibili.


Pitagora cercò di comprendere la causa della coincidenza dei suoni, ma non si trattava di un compito agevole. Come distinguere i fabbri dalla fucina, e i martellatori dai martelli?


Il progetto era stato arditamente concepito, ma non sarebbe arrivato in porto. Non appena Pitagora ebbe deciso quale corso avrebbe dovuto prendere la sua indagine, egli venne improvvisamente distratto. Quasi «obbedendo a un comando divino», il pensatore si sentì indotto ad allontanarsi dai suoi calcoli abituali, e ad entrare nel mondo. Affascinato, si avvicinò ad una fucina. Dall’interno della bottega del fabbro veniva il rumore di molti martelli. «In qualche modo», leggiamo, «emettevano una singola consonanza da suoni diversi». Sbalordito, Pitagora cominciò a capire cos’aveva scoperto. «Era in presenza di ciò che aveva a lungo cercato, e si accostò», come incantato, «al lavoro dei fabbri».

La meraviglia si trasformò subito in ragionata riflessione. Quel rumore non era autonomo, ma determinato dall’attività umana, e prodotto con strumenti usati in uno specifico ambiente. Pitagora cercò di comprendere la causa della coincidenza dei suoni, ma non si trattava di un compito agevole. Come distinguere i fabbri dalla fucina, e i martellatori dai martelli? Per prima cosa, egli verificò un’ipotesi. «Ordinò ai lavoratori di scambiarsi fra loro gli strumenti». Poi i fabbri ripresero il lavoro. La sorprendente consonanza permaneva. Se ne poteva ora trarre almeno un’incontestabile conclusione: «La proprietà dei suoni non risiedeva nei muscoli degli uomini, bensì nei martelli, che [pure] erano stati anche scambiati». E tuttavia non si poteva affermare che la concordia, appropriatamente definita, fosse venuta meno. La sua collocazione era stabile; indisputabilmente, non stava nei lavoratori, ma nei loro strumenti. A voler esser più precisi, la consonanza stava in una soltanto delle numerose proprietà sensibili dei martelli. Tale proprietà poteva ben essere marginale rispetto alla finalità dello strumento, e poteva cioè esser legata al fatto di possedere una massa, nella misura in cui questa possa esser misurata con precisione. Pitagora comprese immediatamente questo punto: la «singola consonanza» era la risultante dei rapporti fra i pesi dei martelli, che determinavano un insieme di suoni piacevoli. Per Boezio, un pensatore della tarda Antichità, i rapporti fra i pesi dei diversi martelli potevano essere più efficacemente espressi nei termini tecnici dell’aritmetica greco-latina.

Ora, vi erano cinque martelli, ma si rilevò che, di quelli che si rispondevano secondo la consonanza d’ottava, l’uno aveva un peso doppio rispetto all’altro. Com’egli comprese, quello stesso martello che era il doppio rispetto all’altro, aveva un peso che era di un terzo martello, con il quale cioè risuonava una quarta. Stabilì poi che il martello dal peso doppio era in rapporto di 3 a 2 rispetto ad un quarto martello, che ad esso era legato da una consonanza di quinta. Si valutò, poi, che i due martelli rispetto ai quali il primo doppio si è dimostrato rispettivamente in rapporto di 4 a 3 e di 3 a 2, intrattenessero fra loro un rapporto di 9/8

Questo sunto – ammette Boezio – potrebbe essere ulteriormente semplificato. Basta pensare il seguente resoconto: «E, perché sia più chiaro quanto si è detto, poniamo che il peso dei quattro martelli sia rappresentato dai seguenti numeri: 12, 9, 8, 6».

Pitagora comprese immediatamente l’importanza della scoperta. «Tornato» subito «a casa», egli ripeté, con mezzi diversi, l’esperimento. Racconta Boezio: «Appese dei pesi identici alle corde, controllando ad orecchio la loro consonanza, applicando doppio e metà, ed adattando le altre proporzioni alla lunghezza delle corde». Poi, «versando in alcune coppe, a mo’ di misura, cìati di liquido in numero corrispondente, e percuotendo con un bastone di bronzo o di ferro le coppe dal diverso peso, fu lieto di non rilevare differenze». Infine, «spinto da quanto osservato, cominciò ad esaminare la lunghezza e lo spessore delle corde, e scoprì in tal modo la regola di cui poi parleremo».


D’un tratto, l’apparentemente infinita diversità dei suoni ha acquisito una nuova semplicità. Gli intervalli acustici erano ora esprimibili in termini di relazioni aritmetiche.


Egli giunse in tal modo ad un insieme di conclusioni che potevano essere assai facilmente dimostrate grazie a un semplice dispositivo: il monocordo. Questo strumento consiste di una sola corda tesa su una cassa di risonanza e fissata ad entrambe le estremità; la lunghezza della corda è interrotta da un ponticello che può essere spostato come si vuole. Se pizzicata o suonata, la corda emetterà un singolo tono. Come è ovvio, nella misura in cui la lunghezza della corda viene diminuita, il suono prodotto si farà progressivamente più acuto. Ma, con il trillo della fucina ancora nelle orecchie, Pitagora aveva colto qualcosa di ben più importante. Si potevano osservare delle regolarità fra la modifica della lunghezza delle corde e i cambiamenti del suono; si potevano stabilire delle correlazioni anche tra fenomeni geometrici e sonori. Tre equivalenze, in particolare, erano immediatamente rilevabili. Una corda libera produrrà un tono, una premuta a metà ne produrrà un altro, e precisamente un suono posto un’ottava sopra il suono prodotto dalla prima. La corda avrà allora delimitato l’intervallo noto agli antichi come diapason. Quando invece la corda è divisa in tre, due delle quali suonate, si renderà udibile un nuovo intervallo: la quinta, nota a Greci e Romani come diapente. Ove, infine, la corda sia divisa in quattro sezioni, tre delle quali suonate, la corda produrrà un tono più alto di quello prodotto dalla corda libera, secondo la distanza di una quarta; in questo modo, lo strumento avrà emesso il diatesseron.


In breve, il mondo naturale poteva essere trascritto – naturalmente, non a mezzo delle lettere dell’alfabeto, che differiscono tra loro conformemente alla varietà degli umani idiomi, bensì tramite quelle varie collezioni di unità che secondo gli antichi erano i «numeri».


D’un tratto, l’apparentemente infinita diversità dei suoni ha acquisito una nuova semplicità. Gli intervalli acustici erano ora esprimibili in termini di relazioni aritmetiche. La prova stava nel ricondurre il suono dell’ottava alla relazione di 2 a 1 (2:1), quello della quinta alla relazione di 3 a 2 (3:2); quello della quarta alla relazione di 4 a 3 (4:3). In breve, il mondo naturale poteva essere trascritto – naturalmente, non a mezzo delle lettere dell’alfabeto, che differiscono tra loro conformemente alla varietà degli umani idiomi, bensì tramite quelle varie collezioni di unità che secondo gli antichi erano i «numeri». Le conseguenze di questo fatto per la comprensione del mondo fisico furono enormi. Nelle cose sensibili, poteva ritrovarsi l’intelligibile, nel mutevole, l’immutabile. Mediante la sua analisi del suono, Pitagora aveva gettato le basi della sua metafisica. Questa dottrina fu documentata da Aristotele in una serie di lapidarie proposizioni: «[i Pitagorici] affermano che i Numeri sono le cose stesse», «dicono che gli esseri sussistono per “imitazione” dei numeri»; «pensarono che gli elementi dei numeri fossero elementi di tutte le cose». Tali affermazioni adombrano posizioni diverse, forse addirittura in conflitto. E tuttavia, nonostante la loro varietà, esse attribuiscono un unico programma a Pitagora e ai suoi successori: scoprire, nell’idea di numero, la chiave per la comprensione del mondo naturale.


«Ora, vi erano cinque martelli». I rispettivi pesi di tutti i martelli, tranne uno, potevano essere perfettamente resi in note, con l’aiuto dei primi quattro numeri. Ma ce n’era anche un quinto.


Questa comprensione sarebbe potuta andare lontano, ma in definitiva era destinata ad arrestarsi. Le conclusioni derivanti dalla fucina possono considerarsi un’illustrazione tanto del progetto quanto dei suoi limiti. Pitagora sviluppò una dottrina aritmetica fondata su una serie di quattro termini corrispondenti ai quattro pesi rispettivi dei martelli in consonanza: 12, 9, 8 e 6. Limitandosi a questi numeri interi, Pitagora poteva così esprimere le relazioni numeriche che, in un monocordo, producevano l’ottava (12:6), la quinta (9:6 o 12:8) e la quarta (8:6 o 12:9). Tuttavia, queste relazioni riflettevano anche proporzioni più semplici: 12:6 potrebbe riscriversi come 2:1; 9:6 o 12:8 potrebbero riscriversi come 3:2; 8:6 o 12:9 potrebbero riscriversi come 4:3. In breve, tutti e tre i fondamentali intervalli acustici potevano essere espressi dalle relazioni dei primi quattro numeri naturali; già da soli, questi termini erano sufficienti per l’analisi dell’accordo nella fucina. In seguito, i seguaci di Pitagora avrebbero compiuto un ulteriore passo avanti. I primi quattro numeri divennero, per loro, le unità di un cosmologico «quaternario». La loro somma aritmetica dava l’unità di 10, fornendo la base per ogni ulteriore calcolo. La loro disposizione geometrica componeva la «figura a sassolini » del triangolo perfetto – ovvero, un triangolo equilatero, contenente in ciascuno dei suoi lati quattro punti («sassolini»), seguìti [verso il vertice opposto] prima da tre punti, poi da due, e infine da uno. Secondo la tradizione, i pensatori attribuivano diversi valori, e tutti di ampia portata, ad ognuno di questi elementi aritmetici. Speusippo, ad esempio, insegnava che il punto è uno; la linea, due; il triangolo, tre; la piramide, quattro. Una fonte sostiene che fra i Pitagorici il principio fosse oggetto di un sacro giuramento: «No, io giuro su colui che ha comunicato alla nostra anima il numero quaternario, / Il quale contiene la fonte e al radice dell’eterna natura».

La verità, però, è che il gruppo dei quattro numeri era carente fin dal principio. Nella fucina, la trascrizione era ostinatamente incompleta poiché un elemento era rimasto incomputato. Descrivendo gli strumenti che producevano l’accordo sonoro, Boezio infatti scrive: «Ora, vi erano cinque martelli». I rispettivi pesi di tutti i martelli, tranne uno, potevano essere perfettamente resi in note, con l’aiuto dei primi quattro numeri. Ma ce n’era anche un quinto. Boezio non dedica più d’una frase al destino del meno musicale fra i cinque utensili: «Il quinto martello », scrive di passaggio, «che era in dissonanza con tutti gli altri, venne espunto» (Quintus vero est reiectus, qui cunctis erat inconsonans).

Improvvisa, sicura e apparentemente irrevocabile, quell’«espunzione» merita alcune riflessioni. Cosa, nel quinto martello, indusse Pitagora ad espungerlo tanto nettamente? Boezio suggerisce soltanto la risposta più minimalista, che non è però facilmente comprensibile. Scrive infatti che il quinto martello «era in dissonanza con tutti gli altri». Quest’asserzione sollecita però una domanda: cos’è questo «tutti», se qualcosa – perfino se questo qualcosa è una cosa soltanto – suona in totale discordanza con «tutti»?

La presenza del quinto martello sembra confutare la totalità dell’insieme dei quattro. Potrebbe comunque farlo in almeno due modi, il che suggerisce differenti – e in verità contraddittorie – interpretazioni dell’ultimo strumento di percussione. Il pubblico di Boezio avrebbe potuto concluderne che la presenza del quinto martello tradisse una colpa da ascriversi non a Pitagora, ma solo al nostro mondo inferiore. Effettivamente, tale spiegazione potrebbe riconciliarsi con i canoni dell’antica conoscenza. Si potrebbe ad esempio ricordare come i pensatori classici cercassero regolarmente di cogliere quei princìpi della natura che siano per definizione eterni, immutabili e necessari, ma insegnavano anche che le cose particolari sono per essenza corruttibili, mutevoli, e dunque incerte. I primi lettori del libro di Boezio potrebbero aver interpretato il quinto martello nel modo seguente: per loro, la sua dissonanza poteva forse essere una testimonianza dei limiti della sfera sublunare, in cui la scienza naturale, nemmeno nelle sue forme più sviluppate, è in grado di predire con certezza un accadimento fisico. Solo al di là della Luna, nelle nobili regioni che circondano questo mondo corruttibile, i princìpi matematici e le deduzioni potrebbero trovare un preciso campo di applicazione. Ma oggi, naturalmente, esiste una soluzione più ovvia al problema del rumore. Si può scegliere di puntare un dito accusatore contro il primitivo, seppur ingegnoso, teorico, concludendo semplicemente che qualcosa, nel calcolo pitagorico, era sbagliato. E sempre un errore – che fosse di osservazione, di prospettiva, di misura o di metodo – poté aver impedito a Pitagora di trovare per quello strumento una collocazione nel suo sistema di proporzioni. Si potrebbe pensare che, se la sua analisi fosse stata corretta, avrebbe coperto tutte le ipotesi, poiché ovviamente uno studio scientifico non tollera eccezioni. E tuttavia ogni soluzione, comunque immaginabile, cela un’oscurità. Cos’era mai il mondo dell’antica conoscenza, se poteva consentire – e fors’anche esigere – un suono discordante «con tutti gli altri»? E cos’è mai l’universo della scienza moderna, se, per contro, non può permettere il rumore di una singola parte discordante?

Si possono fare soltanto congetture, sulla ragione della dissonanza del quinto martello, ma almeno una cosa è incontestabile: sebbene Pitagora non desiderasse includere l’ultimo martello nelle sue equivalenze di rumore e numero, egli tuttavia ne ebbe percezione. Boezio lascia ben pochi dubbi in proposito: immobile davanti alla fucina, «come incantato », il saggio «udì battere dei martelli che in qualche modo emettevano una singola consonanza da suoni diversi». Dunque anche il quinto martello batteva, uno fra i cinque. Forse, per una momentanea distrazione, Pitagora si sentì attratto proprio da quello strumento: il martello senza numero e senza padrone che in qualche modo – e tuttavia in modo impossibile, partecipava, sì, di «una singola consonanza», ma era anche in totale dissonanza «con tutti gli altri». Viene da domandarsi se quella sorta di «comando divino» che ingiunse al pensatore di abbandonare le sue ritirate speculazioni non possa aver avuto uno spartito da suonare, in questo misterioso quintetto. Lo spirito che distolse Pitagora dalla sua indagine razionale fu forse anche quello che lo rinviò agli organi di senso, cui egli mai avrebbe pensato di doversi affidare. L’espropriazione fu indubbiamente transitoria, ma le sue conseguenze erano destinate a durare. Pitagora poté certo tornare alla sua ricerca; poté certo espungere tutti gli strumenti. Più o meno distintamente, però, anche se forse solo per un istante, egli aveva tuttavia percepito un’entità non commensurabile. È difficile pensare ch’egli possa non avervi riflettuto, mentre sappiamo che i suoi seguaci – non da ultimo Boezio – si diedero un gran daffare per darne testimonianza. Messa sul rigo come un evento sonoro al quale non poteva attribuirsi una quantità certa, quella risonanza doveva attrarre altri pensatori nella fucina scoperta da Pitagora. Lì, fedeli o infedeli al loro maestro, essi impararono a percepire le armonie di una musica di cui nessun numero dà notazione.


Daniel Heller-Roazen, professore di letteratura comparata a Princeton, ha tradotto in inglese di Giorgio Agamben, autore di Fortune’s Faces: The Roman de la Rose and the Poetics of Contingency (The Johns Hopkins University Press 2003), Echolalias: On the Forgetting of Language (Zone Books 2005), The Inner Touch: Archaeology of a Sensation (Zone Books 2007), The enemy of all: Piracy and the Law of Nations (Zone Books 2009). In italiano sono stati pubblicati da Quodlibet: Ecolalie. Saggio sull’oblio delle lingue, Il nemico di tutti. Il pirata contro le nazioni e Il tatto interno. Archeologia di una sensazione.
In copertina: Pier Paolo Nudi, Dimensionale multiplo. Courtesy Pananti.