Che cos’è l’entropia?

Il disordine si accumula sul tavolo; quasi sempre c’è bisogno di pulire la cucina. Le automobili si guastano, i ponti crollano. Il vostro corpo invecchia, anche mentre leggete queste righe. Si ammala e morirà. Subiamo tutti il declino e il disfacimento. Eppure il caos non è totale: la cucina viene pulita, le automobili sono fabbricate e riparate, si ricostruiscono i ponti, nascono i bambini.

Perché la cucina non si pulisce mai da sola? Visto che non lo fa, com’è possibile che venga pulita, se è soggetta al degrado anche la persona che se ne occupa? Se ogni cosa è destinata al disfacimento, perché il mondo non è decaduto in un disordine completo già molto tempo fa? La legge del disfacimento ammette eccezioni? Se sì, come? Se no, che cosa dà ordine al mondo? Queste osservazioni basilari, come vedremo, toccano alcuni punti fondamentali della fisica, oltre a coinvolgere le dimensioni più ampie dello spazio e del tempo.

Iniziamo dalla cucina. Che cosa significa che è rassettata? Significa che le pentole sono riposte, non sparse sul ripiano; il riso è sullo scaffale, il pavimento è spazzato, i piani di lavoro sono sgombri. Se la cucina è disordinata, molti utensili non si trovano al proprio posto. In altri termini, ci sono moltissime maniere possibili di disporre gli utensili, le spezie, le padelle e gli ingredienti, ma pochissime di queste rendono pulita la cucina. La pulizia è una proprietà speciale, che va perduta fin troppo facilmente.

Più precisamente, immaginiamo di contare tutte le possibili configurazioni della cucina, cioè tutte le maniere possibili di disporre ogni piatto, utensile, barattolo e così via. Ora supponiamo di assegnare a ciascuna configurazione un giudizio, come “pulitissima”, “abbastanza pulita”, “abbastanza sporca” o “sporchissima”. È chiaro che ciascuna delle quattro categorie conterrà un maggior numero di configurazioni della cucina rispetto alla categoria precedente.

Ora immaginiamo la cucina in uno dei suoi stati “abbastanza puliti”, e sottoponiamola all’azione di qualcosa che sposti gli oggetti ignorando del tutto la nostra classificazione. (In ordine di potere crescente di risistemazione casuale, potremmo considerare un terremoto, un uragano o un bambino di 4 anni.) Vedrete che, con altissima probabilità, questo intervento porterà inesorabilmente la cucina nello stato “abbastanza sporco” e poi “sporchissimo”. È possibile che per puro caso diventerà più pulita, ma è straordinariamente improbabile.

Questa tendenza dei sistemi a diventare spontaneamente “disordinati” è l’effetto della cosiddetta seconda legge della termodinamica. I fisici la formulano in termini dell’entropia: “Nei sistemi chiusi, l’entropia non diminuisce”. Ma che cos’è l’entropia? I fisici usano una serie di definizioni che a volte sono fonte di confusione, ma possiamo ridurle a due nozioni elementari. La prima (parleremo della seconda in seguito), che potremmo chiamare entropia del disordine, o semplicemente disordine, fu ideata da Ludwig Boltzmann nell’Ottocento, nello stesso spirito della nostra analisi della cucina.

Chiamiamo microstato ogni configurazione particolare della cucina, in modo che tutte le possibili configurazioni della cucina corrispondano a un insieme di tutti i possibili microstati. Ora daremo ai quattro livelli di pulizia il nome di macrostati, dove il prefisso “macro” ricorda che sono stati “grandi”. Possiamo classificare tutti i microstati distribuendoli nei macrostati, ciascuno dei quali equivale a una collezione di microstati. Detto altrimenti, ciascun macrostato è essenzialmente un’etichetta assegnata a un certo insieme di microstati, in modo che ogni microstato corrisponde esattamente a un’etichetta. Possiamo inoltre contare il numero di microstati con una certa etichetta; i fisici assegnerebbero al macrostato un’“entropia di Boltzmann” (che chiameremo disordine), determinata da questo conteggio. La seconda legge afferma che, con il passare del tempo, il sistema evolve verso macrostati con un disordine uguale o maggiore; la cucina sempre meno rassettata segue questa legge, in una maniera che possiamo adesso quantificare.

Finora abbiamo considerato soltanto i vari oggetti in cucina. Ma ciascuno di essi è composto da molti pezzi e se, per esempio, rompiamo un piatto, all’improvviso abbiamo uno stato che non è compreso nel nostro insieme precedente di possibilità. Per ovviare a questa limitazione, possiamo considerare un insieme molto più grande di (micro)stati possibili, che descrivono i pezzi degli oggetti della cucina. Se svolgiamo il procedimento fino alla conclusione naturale, potremmo creare un insieme molto completo definendo i microstati in termini dei costituenti più piccoli che si trovano in cucina: gli atomi e le molecole che compongono ogni oggetto. Così facendo, potremmo immaginare che il numero di stati sia infinito, perché le posizioni accessibili, per esempio, a un atomo al bordo di una spatola per il riso formano un continuum Ma la meccanica quantistica ci ha insegnato che, in generale, i sistemi fisici possono fornire una quantità finita di informazione; ne segue che, di fatto, l’insieme di stati è finito.

Infine, ora che abbiamo questi stati, possiamo considerare le leggi della fisica che fanno evolvere uno stato in un altro. Nella fisica classica, i microstati specificano la posizione e la velocità di ogni atomo; le leggi che regolano il movimento degli atomi corrispondono poi a una regola che stabilisce come un microstato evolve in un altro. Nella fisica quantistica gli stati non sarebbero altro che stati quantistici, e l’equazione di Schrodinger ci direbbe come evolvono.

A questa nuova combinazione degli stati e della dinamica possiamo applicare proprio le stesse leggi e lo stesso ragionamento. I numeri sono però più grandi, a livelli difficili da immaginare: gli atomi presenti in una cucina sono probabilmente dell’ordine di N = 10³⁰, e le loro possibili configurazioni sono dell’ordine di 10^N. Possiamo definire un insieme molto più dettagliato di macrostati (stati distinguibili che ci interessano), comprendente non soltanto gli spostamenti degli oggetti, ma anche stati diversi per ciascuno di loro: per esempio riso novello, riso cotto, riso vecchio, riso rifritto, riso ammuffito e così via. Anche in questa descrizione molto più dettagliata, a ciascun macrostato si associano molti, molti, molti microstati; i macrostati con il disordine maggiore, inoltre, contengono davvero molti più microstati rispetto a quelli in cui il disordine è minore. Così, mentre l’evoluzione verso macrostati che presentano un disordine minore (per esempio la muffa che sparisce dal riso) non è strettamente impossibile, la probabilità che ciò avvenga davvero è così incredibilmente piccola che non bisogna aspettarsi proprio mai un evento simile: vincere la lotteria 10 volte di seguito, rimanendo colpiti in simultanea da un asteroide e da un fulmine, sarebbe molto, molto più probabile che assistere a una violazione macroscopica della seconda legge. Il disordine aumenterà; ecco perché la seconda legge si chiama “legge”.

Ora arriviamo alla domanda di Zenjo. Supponete di rendere la cucina un sistema chiuso, schermandola completamente dall’esterno: nessuna cosa o influenza può entrare o uscire. Con il passare del tempo, la cucina evolve comunque da uno stato all’altro in base alle leggi della fisica. Ma il fatto cruciale è che, come prima, quelle leggi non sanno nulla del particolare insieme di macrostati che ci interessa: non sanno se la cucina sia pulita o sporca, o se le pentole siano lustre, arrugginite o ridotte in polvere; tutto ciò per loro non ha alcuna importanza. Proprio come il bambino di 4 anni, si limitano a fare quello che fanno. Cosi la cucina evolve verso macrostati con disordine sempre maggiore.

Stando così le cose, come è possibile che una qualsiasi cucina specifica sia abbastanza pulita, invece che in pessimo stato, in rovina o addirittura ridotta in polvere? Purtroppo, se è lasciata sottosopra di sera, la cucina non si pulirà da sola mentre dormiamo. Eppure, come fa notare il cuoco, una persona che si trova nella cucina può pulirla. Il fatto che sia possibile pulire una cucina e che, dopo la pulizia, il suo disordine sia minore rispetto a una cucina sporca viola forse la seconda legge, secondo cui il disordine non diminuisce mai? A un certo livello sì, ma non a un livello diverso, forse più fondamentale. Al livello delle configurazioni di tutti gli oggetti in cucina, e dei quattro macrostati di pulizia, la legge è in effetti violata. La dinamica del sistema (le azioni di chi pulisce la cucina) lo spinge di proposito a evolvere verso configurazioni “pulite”; c’è una notevole differenza con la dinamica del terremoto o del bambino di 4 anni.

Eppure è anche chiaro che questa descrizione del sistema non è completa, e che non può funzionare all’infinito. Immaginate di restare a lungo rinserrati nella cucina “chiusa”. Potreste mantenerla pulita per un po’, ma alla fin fine la spazzatura inizierebbe ad accumularsi, il riso ammuffirebbe e voi non avreste più da mangiare. Cioè, per quanto possiamo spostare le cose, alla fine la cucina si trova in uno stato che non apparteneva al nostro insieme originario di microstati. Ciò succede sempre se aspettiamo abbastanza a lungo, a meno di usare un insieme di stati estremamente particolareggiato, cioè una descrizione dettagliata in termini dei 10³⁰ atomi e molecole. Ma in questa descrizione più dettagliata, gli stati come “fresco” e “ammuffito” sono macrostati; di conseguenza, è complicato evolvere da uno di essi che presenta molto disordine ad altri più ordinati. Chi pulisce la cucina, per quanto sia minuzioso, non riuscirà a trasformare il riso ammuffito in riso fresco. Per questo motivo, una cucina chiusa non rimarrà pulita in eterno; finiamo nei guai se non colleghiamo il sistema chiuso a un sistema più grande, che possa fornire nuovo cibo e ritirare la spazzatura da nascondere dietro la baracca.

Allo stesso modo, non è possibile continuare per sempre a pulire la cucina in completo isolamento. Gli esseri umani riescono a vedere, pensare e spostare le cose grazie al cibo che metabolizzano. Il disordine dello stomaco pieno è basso; per quanto faccia pulizie all’esterno, perciò, la persona genera disordine all’interno quando digerisce e metabolizza la colazione.

Così, mentre il disordine della cucina diminuisce un po’, questo aumento di ordine non può mai prescindere dalla creazione di un certo disordine, in quantità almeno equivalente, tramite il metabolismo di chi pulisce. Questa riserva di ordine prima o poi si esaurisce, e la cucina non può rimanere ordinata se non la colleghiamo a un sistema più ampio, che possa fornire nuovo cibo a basso disordine, e un luogo dove mettere la spazzatura.

Facciamo il punto. La cucina non si pulirà da sola. Una persona può mantenerla pulita finché dispone di un ambiente un po’ più grande, che magari includa un orto e una baracca, da cui ricavare materiale altamente ordinato come il cibo, e in cui accumulare il materiale “di scarto” disordinato. Riflettendoci un attimo si capirà, però, che ci siamo limitati a trasferire il problema a una scala più ampia. Perché il sistema grande è cosi ordinato? Di nuovo, possiamo fare riferimento a un sistema ancora più grande: la luce solare e la pioggia fanno crescere il cibo, e prima o poi l’atmosfera e le intemperie eliminano i rifiuti.

In realtà tutte queste azioni sono in ultima analisi legate al Sole, che fornisce alla Terra un’enorme riserva di ordine sotto forma di radiazione solare, abbastanza ordinata.

Ma perché fermarsi qui? Da dove viene l’ordine che permette l’esistenza del Sole, là dove altrimenti potrebbe esserci soltanto un ammasso caotico di materia? Il Sole ha due fonti di ordine. Prima di tutto, contiene molto materiale con basso disordine chimico, perché i suoi costituenti primari, l’idrogeno e l’elio, possono fondersi in elementi molto più pesanti, sprigionando energia e aumentando il disordine. Tutto ciò non sarebbe possibile se il Sole fosse una grande palla di ferro, elemento che non può subire la fusione o la fissione liberando energia. La seconda fonte di ordine è gravitazionale. La gravità, essendo attrattiva, tende a comprimere o a far collassare gli oggetti. Il Sole è soggetto a questa forza intensa, diretta verso l’interno, controbilanciata pero dalla pressione dovuta ai gas che lo compongono, abbastanza caldi. In assenza di questa pressione, il Sole collasserebbe su se stesso in circa 20 minuti. Se ciò avvenisse, durante la caduta verso il centro del Sole, ogni atomo accelererebbe. Un tale aumento di velocità lo renderebbe più energetico; in questo modo possiamo quindi vedere che, durante il collasso degli oggetti, tende a sprigionarsi energia del tipo dovuto al movimento degli atomi, cioè il calore, che è altamente disordinato.

Questa capacità di compiere lavoro e generare calore indica che gli oggetti non collassati sono ordinati, e che, per quanto riguarda la gravità, un mezzo uniforme, benché privo di struttura, è altamente ordinato. Il Sole attuale ha ereditato questo ordine dal gas che lo formò, non costellato di grumi ma abbastanza uniforme. Riunendo gli aspetti chimico e gravitazionale, possiamo allora concludere che il Sole riesce a brillare grazie a un’enorme riserva di gas uniforme e chimicamente semplice. Anzi, alle scale più ampie l’universo è proprio così. In breve, la cucina può rimanere pulita perché l’universo è grande, semplice e uniforme. Incredibile. Ma non possiamo esimerci dal chiedere: “Perché l’universo è tanto ordinato?”.

Bisogna forse riferirsi a un sistema più grande?

Anthony Aguirre è professore di fisica all’Università della California a Santa Cruz e cofondatore del Foundational Questions Institute. Abita a Santa Cruz, in California. Nelle nostre edizioni ha pubblicato Zen e multiversi (2020).