Com’è nata la meccanica di Newton?



Non è facile da immaginare per chi non se ne intende, ma di formulazioni della fisica ce ne sono più di una. Quella newtoniana, a cui siamo abituati, è solo una delle tante. 


In copertina un’opera di George Grosz

di Giuseppe Vatinno

Quando si tratta di questioni complesse una premessa è necessaria. Questo articolo è solo divulgativo e non ha alcuna pretesa di completezza ed estrema rigorosità. Cerca, da una prospettiva sostanzialmente qualitativa, di illustrare lo sviluppo della meccanica moderna. Quando ci si cimenta con tale tipo di problemi c’è sempre un dilemma: mettere o no le formule? Come è noto la fisica moderna è in stretto connubio con la matematica, anzi è il suo principale campo di applicazione. Tuttavia le formule spesso allontanano il lettore. Allora ho adottato un compromesso. Ho messo il minor numero di formule possibili cercando di puntare maggiormente su una descrizione qualitativa, il che porterà sicuramente ad una minore precisione, ma ad una maggiore comprensibilità.

La fisica newtoniana

La prima opera che si occupa compiutamente di una esposizione matematica della meccanica è la celeberrima Philosophiae naturalis Principia Mathematica, pubblicata il 5 luglio del 1687 dal fisico inglese Isaac Newton (1643 -1727) sulla scorta del lavoro di Giovanni Keplero.

Con i Principia, non solo si formalizza analiticamente la legge del moto, ma la meccanica celeste e quella terrestre vengono di fatto unificate in una visione unica. Un doppio risultato reso possibile dal genio e dalla preveggenza dello scienziato britannico.

I Principia sono un passo fondamentale nella storia della scienza proprio per l’utilizzo della matematica che segna un sostanziale cambiamento rispetto al passato; da una fisica qualitativa si passa finalmente ad una fisica quantitativa e cioè misurabile e quindi precisissima.

Si abbandona la vecchia fisica aristotelica, che peraltro conteneva gravi errori concettuali, per passare ad una fisica predittiva, che dà conto dei fenomeni naturali.

Ma il passaggio dalla fisica aristotelica, arricchita da contributi medievali, a quella moderna non è stato certo immediato, ma è avvenuto per gradi sia di innovazione tecnica che filosofica.

Fondamentale l’influsso del fisico italiano Galileo Galilei (1564 -1642) che, dopo aver “inventato” il metodo sperimentale, aveva individuato nella matematica lo strumento principe per indagare i fenomeni naturali. 

Scrive infatti lo scienziato pisano in un celebre brano contenuto ne Il Saggiatore (1623), opera dedicata al papa Urbano VIII e che ha per argomento la natura delle comete:


“La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, né quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto”.

Questo passaggio di Galilei assume la forma di una sorta di manifesto per la nuova fisica. Lo scienziato pisano dichiara esplicitamente che lo studio della natura deve avvenire nel linguaggio della geometria e cioè della matematica, altrimenti ci si trova a vagare per un oscuro labirinto.

Dunque Galilei e Newton sono alla base della fisica moderna e indicano la strada per il futuro che è quella dell’osservazione sperimentale nell’ambito di una formulazione matematica e non quella della presunta autorità degli autori del passato, il celebre Ipse Dixit con cui nel medioevo si designava l’autorità di Aristotele.

La sviluppo formale della meccanica classica confluirà in seguito nella fisica – matematica con la denominazione di “meccanica razionale”.

Il calcolo infinitesimale, il linguaggio base della nuova fisica e branca fondamentale dell’analisi matematica, fu scoperto da Isaac Newton (in De analysi per aequationes numero terminorum infinitas del 1669 e pubblicato solo nel 1711) e da Gottfried Leibniz (1646 -1716) e pubblicato negli Acta Eruditorum del 1684. Questo a significare il fondamentale apporto dato dalla meccanica allo sviluppo della stessa matematica e viceversa.

Già la meccanica newtoniana, basata sui famosi tre principi, può essere definita, in un certo senso, “razionale” perché utilizza, come detto, molto la matematica anche se per i Principia Newton preferì utilizzare una più classica trattazione geometrica, “alla maniera degli antichi”, dei risultati ottenuti grazie al calcolo infinitesimale che non aveva ancora saldi fondamenti rigorosi.

Quindi Newton “scopriva” risultati fondamentali grazie all’analisi e li presentava poi geometricamente.

La meccanica razionale è denominata “analitica” con la formalizzazione dovuta principalmente a Joseph Lagrange, nella seconda metà del XVIII secolo, e poi con William Hamilton nella prima metà del XIX secolo. Essa è basata sul principio di minima azione che sostituisce i principi di Newton.

Queste due formulazioni, quella di Lagrange e quella di Hamilton, sono del tutto equivalenti tra loro e con la meccanica di Newton, ma il loro particolare formalismo rende immediatamente evidenti i rapporti con la simmetria e quindi con le quantità conservate, caratteristica questa che troverà poi piena applicazione nel fondamentale teorema di Noether.

Lo studio delle simmetrie diverrà il caposaldo di molti settori della fisica, tra cui quello delle particelle, e si è dimostrato un metodo di eccezionale utilità a riprova che la formalizzazione della meccanica non è stata solo fine a sé stessa e, se vogliamo utile a gratificare il senso estetico, ma ha prodotto in seguito fondamentali conseguenze nella fisica moderna.


In definitiva l’equazione fondamentale della meccanica newtoniana per un singolo corpo in movimento è quindi:


(1)

Dove mv è la quantità di moto 

con m la massa e v la velocità

Nel caso in cui che la massa sia costante la (1) assume la più nota forma universale:

(1)

Dove F ed a sono vettori, cioè grandezze che dipendono dalla direzione e dal verso.


C’è da notare che nella fisica aristotelica la forza F è proporzionale, tramite la massa, alla velocità e non all’accelerazione.

Una definizione che inficia tutti gli sviluppi successivi ed in particolare il principio di inerzia che infatti non vale per Aristotele.

Ma per giungere alla (1)’ Newton utilizza pesantemente il metodo sperimentale e non quello intuitivo del filosofo greco, a cui si deve comunque dare atto del primo tentativo compiuto di formalizzare almeno su base logica la fisica che allora coincideva quasi totalmente con la meccanica.

Al di là della formula della forza Newton, come detto, riesce ad unificare meccanica celeste e meccanica terrestre tramite la celebre legge della gravitazione universale:

(2)

La (2) mostra la forza che si sviluppa tra due masse in funzione della distanza “r” e di una costante G, detta di Newton.

Mettendo al posto di una delle due masse quella della Terra si può utilizzare per spiegare il moto dei satelliti e in particolare quello della Luna.

Dal punto di vista matematico la (1)’, che è la forma più usata nella pratica, è una equazione differenziale ordinaria del secondo ordine nella variabile r, cioè la distanza, che sarà soddisfatta per certe condizioni iniziali su spazio e velocità. In questo senso la meccanica classica è completamente deterministica.

Quindi, da un certo punto di vista, ogni problema di meccanica, date le condizioni inziali su spazio e velocità, si riduce alla soluzione di un sistema di equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine. Il sistema è dovuto al fatto che ci sono più corpi interagenti e non uno solo.

La (1)’ applicata ad esempio al sistema solare con la (2), dà conto dell’intero moto dei pianeti intorno al sole con una precisione molto elevata.

Ecco perché poi Newton viene ricordato come un vero genio che per primo riuscì a spiegare i moti planetari nel sistema eliocentrico.

La fisica relativistica 

La (1) rimase per più di 200 anni insuperata fin quando Albert Einstein non si accorse che era “sbagliata”, o meglio, come accade sempre nella fisica, che vi era una formulazione più accurata che prende il nome di Teoria della Relatività Speciale (1905).

Infatti, quando le velocità in gioco sono dell’ordine della velocità della luce nel vuoto, indicata con “c”, e cioè circa 300.000 km/s, allora le formule della meccanica newtoniana devono essere sostituite da quelle della meccanica relativistica.

La meccanica di Newton è un caso limite di quella di Einstein quando le velocità sono piccole rispetto a quella della luce.

Tutta la moderna fisica delle particelle –date le elevatissime velocità- è basata sulla fisica relativistica e non su quella classica.

Inoltre, anche la (2) è “sbagliata” e fu sempre Einstein, tramite la teoria della Relatività Generale, a dare una corretta formulazione con le sue celebri “equazioni di campo”

La fisica quantistica

La (1) viene modificata anche quando le dimensioni del sistema fisico implicate sono molto piccole, dell’ordine atomico e cioè circa 10^-10 m (un decimillesimo di milionesimo di metro).

Si tratta di dimensioni a cui la fisica newtoniana non funziona più e la (1) deve essere sostituita da altre formulazioni come l’equazione alle derivate parziali di Schrödinger, in cui l’incognita è la funzione d’onda.

La meccanica quantistica, al contrario di quella newtoniana, non è deterministica, ma bensì probabilistica.

La fisica quantistico-relativistica

La fisica quantistica e quella relativistica sono state poi unificate dal fisico britannico Paul Dirac (1902 -1984) che ha prodotto una famosa equazione che porta il suo nome e che dà conto del comportamento sia quantistico che relativistico di particelle elementari come l’elettrone, dando nel contempo conto di una nuova particolarità dell’elettrone e cioè del suo spin, legato alla rotazione di una particella intorno al suo asse.

Un successivo sviluppo di questa equazione ha poi condotto alla teoria quantistica dei campi (seconda quantizzazione), che segna il più avanzato confine della fisica teorica attuale. 

Una tecnica di soluzione di queste equazioni che fa riferimento ai famosi “diagrammi”, è stata elaborata dal fisico americano Richard Feynman (1918 -1988).

Gli sviluppi formali della meccanica newtoniana: la meccanica lagrangiana

In questo articolo tuttavia non ci vogliamo occupare di fisica relativistica e quantistica, ma unicamente degli sviluppi formali successivi della fisica newtoniana, definita “classica”.

Infatti, dal punto di vista matematico, si è assistito ad una evoluzione della formulazione della meccanica newtoniana che però si basa sempre sulla (1) oppure la (1)’ se la massa è costante.

Le nuove formulazioni si rivelarono in un certo senso più potenti di quella newtoniana perché permisero di ottenere più facilmente gli stessi risultati, una volta costruite certe funzioni chiave.

La prima evoluzione della meccanica di Newton è dovuta al fisico matematico Joseph-Louis Lagrange (1736 -1813), che tra l’altro era nato a Torino anche se poi visse e lavorò in Francia.

L’idea di Lagrange fu quella di definire una funzione, che si chiama appunto “lagrangiana” (3), che risulta essere –in date condizioni- legata alla differenza tra energia cinetica ed energia potenziale, T – U.

Applicando le cosiddette “equazioni di Lagrange” (4) si giunge facilmente alle note equazioni di Newton della meccanica.


(3)


(4)

q è la distanza generalizzata e q. la velocità generalizzata, T l’energia cinetica e U l’energia potenziale.

Le equazioni (4) sono dedotte –come detto- da un principio variazionale e non dai tre principi di Newton, ma sono del tutto equivalenti.

Infatti le equazioni di Lagrange derivano dall’imporre lo stato stazionario all’ “azione”, cioè all’integrale sul tempo della Lagrangiana, e quindi richiedere che abbia un minimo o un massimo.

Il calcolo delle variazioni è stato sviluppato, indipendentemente dalla fisica, in matematica per problemi estremali, tipo la ricerca della distanza minima tra due punti del piano (che è una retta), o la superficie minima di rivoluzione di una curva rotante intorno ad un suo asse o il cosiddetto problema della brachistocrona che consiste nel trovare la curva percorsa da un mobile sotto l’effetto della gravità tra due punti nel minore tempo possibile.

Il metodo lagrangiano è utile perché una volta conosciuta l’espressione dell’energia di un sistema si sottrae dall’energia cinetica T quella potenziale U, si ottiene la lagrangiana ed utilizzando la (4) si ottengono immediatamente le equazioni del moto di Newton, senza doversi cercare tutte le espressioni analitiche delle forze.

Gli sviluppi della meccanica newtoniana: la meccanica hamiltoniana

Il sistema di equazioni hamiltoniano è un metodo alternativo a quello di Joseph Lagrange. Quale utilizzare dipende essenzialmente dal contesto ed anche da un certo senso estetico.

Questo metodo fu sviluppato dal fisico – matematico irlandese William Hamilton (1805 – 1865).

Partendo dalle equazioni di Lagrange (2) vi si applica una trasformazione di Legendre che fa passare dalle vecchie variabili (q, q., t) alle nuove (q, p, t), ove p è la quantità di moto generalizzata..

La funzione di Hamilton (Hamiltoniana”) H è:

(5)


Le equazioni di Hamilton sono allora:

(6)

Dal punto di vista tecnico la funzione hamiltoniana è direttamente correlata all’energia totale del sistema e non come la lagrangiana alla differenza tra energia cinetica e potenziale.

Dal punto di vista matematico poi le equazioni di Hamilton sono un sistema di 2n equazioni differenziali ordinarie del primo ordine contrariamente a quelle di Newton che sono n equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine.

Possiamo quindi affermare che si giunge dalle equazioni di Newton a quelle di Hamilton per via puramente analitica (applicando appunto le trasformazioni di Legendre), senza bisogno di alcuna considerazione fisica.

I vantaggi della formulazione lagrangiana e hamiltoniana 

Ma quali sono i vantaggi delle altre due formulazioni alternative a quella newtoniana?

Abbiamo visto che sia la formulazione lagrangiana che quella hamiltoniana sono più semplici da utilizzare per generare automaticamente le equazioni del moto a partire dall’espressione analitica dell’energia del sistema.

Ma ci sono altri motivi per preferire queste due formulazioni equivalenti?

La risposta è affermativa e riguarda un aspetto della meccanica e più in generale della fisica moderna che è diventato fondamentale, soprattutto nella descrizione delle particelle elementari.

Infatti le due formulazioni alternative prima riportate permettono di individuare immediatamente le quantità conservate e in genere sono considerate “esteticamente” più belle di quelle di Newton.

Le quantità conservate

Nella fisica newtoniana si risolvono le equazioni del moto prima viste. Tuttavia, ci si accorge presto che ci sono, in particolari condizioni, delle quantità conservate –una volta date le condizioni iniziali-, dette anche integrali primi del moto, che permettono di risolvere più facilmente il problema, senza passare per la soluzione delle difficili equazioni differenziali del moto.

Una quantità conservata è una variabile che ha sempre lo stesso valore per tutta la durata del processo fisico considerato.

Tre tra le più importanti sono: l’energia, la quantità di moto e il momento della quantità di moto o momento angolare.

Ma ve ne sono anche altre, come la parità in fisica delle particelle elementari o la carica elettrica in elettromagnetismo.

Il teorema di Noether

La matematica Emmy Noether (1882 -1935) si accorse che se la lagrangiana (o parimenti l’hamiltoniana) mancava di certe variabili si conserva automaticamente una quantità ad esse collegata.

E questo deriva direttamente dalla particolare struttura differenziale delle equazioni considerate.

Da notare che la formulazione newtoniana non permette così facilmente di dedurre le quantità che si conservano.

La cosa rilevante è però che queste quantità conservate hanno a che fare con proprietà fondamentali dello spazio – tempo o cronotopo. 

La mancanza di una variabile nella lagrangiana è legata ad una simmetria del sistema.

Più in generale il teorema si può enunciare così: “ogni simmetria continua che lascia invariata la (densità) di lagrangiana corrisponde una corrente conservata”.

Vediamole in dettaglio.

Conservazione dell’energia

In un sistema meccanico isolato l’energia si conserva, cioè non varia nel tempo, se la lagrangiana è indipendente dal tempo stesso.

Questa è la conseguenza della omogeneità del tempo che riflette il fatto che un esperimento è lo stesso indipendentemente da quando lo si compie. La lagrangiana è invariante nel tempo grazie ad una simmetria temporale per traslazione (nel passato o nel futuro).

Conservazione della quantità di moto

Se la lagrangiana è invece indipendente dalla variabile spaziale si conserva la quantità di moto e questo ha a che fare con l’omogeneità dello spazio e cioè con il fatto che il risultato di un esperimento è indipendente dal luogo in cui si compie.

La simmetria implicata, in questo caso, è quella dello spazio rispetto a traslazioni.

Conservazione del momento della quantità di moto 

Se infine la lagrangiana è indipendente da una variabile angolare, si conserva il momento della quantità di moto o momento angolare. Questo significa che lo spazio è isotropo e cioè il risultato di un esperimento è indipendente dalla direzione in cui si compie. La simmetria qui implicata è quella per rotazioni angolari.

Considerazioni finali

Nella fisica moderna si utilizzano ormai sempre la formulazione lagrangiana o hamiltoniana per ottenere le equazioni del moto. 

Entrambe conducono in maniera automatica alle equazioni del moto una volta nota l’energia cinetica e quella potenziale, mentre la formulazione newtoniana è più farraginosa.

Inoltre, le formulazioni non newtoniane hanno il pregio di mettere in evidenza le quantità conservate.

In ogni caso le tre formulazioni di cui ci siamo occupati, quelle newtoniana, quella lagrangiana e quella hamiltoniana sono del tutto equivalenti ai fini della descrizione completa del sistema fisico in studio.

L’utilizzo di una o dell’altra formulazione dipende unicamente da cosa si vuole ottenere più facilmente e si tratta, in definitiva, di una questione di scelta personale.

Bibliografia
Goldstein H., Meccanica classica, Zanichelli, 1971.
Landau L.D. – E.M. Lifsits, Editori Riuniti, 1979.
Mach E., La meccanica nel suo sviluppo storico – critico, Bollati Boringhieri, 1977.
Vatinno G., Storia naturale del tempo, Armando Editore, 2014.
Vatinno G, Sette brevi lezioni di Relatività, Aracne, 2015.


GIUSEPPE VATINNO È UN GIORNALISTA PROFESSIONISTA E SCRITTORE. LAUREATO IN FISICA, PERFEZIONATO IN FISICA DELLE PARTICELLE, PSICOLOGIA COGNITIVA E RETI NEURALI. HA INSEGNATO AL POLITECNICO DI MILANO NEL MASTER DI II LIVELLO SU TEMATICHE ENERGETICO – AMBIENTALI. SI OCCUPA ANCHE DI TEMATICHE RIGUARDANTI LA TECNOLOGIA E LA SCIENZA. È STATO DEPUTATO DELLA REPUBBLICA.

 

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