La matematica è viva, è cioè una materia complessa e in divenire, a volte persino fumosa e incerta, altre volte in difficoltà. Tutt’altro che una semplice carrellata di regole logiche. Ecco perché.
In copertina un’opera di edvard munch
di Ignazio Licata
- Le equazioni come oggetti complessi
Esiste una concezione diffusa che tende ad assimilare le equazioni della fisica ad algoritmi, dunque a formalismi che connettono deterministicamente un input ad un output. È vero che nella scienza si forza spesso un’equazione a somigliare a un algoritmo per fare delle simulazioni, ma la differenza resta enorme. Un software esiste nell’universo giocattolo che gira su un computer, i modelli di sistemi fisici estraggono da un processo gli aspetti significativi: variabili, che ci indicano quali attori reggono le dinamiche in gioco; parametri, che descrivono il rapporto tra sistema e ambiente; e relazioni tra variabili e parametri che costituiscono il cuore concettuale delle equazioni del modello. In questo processo di estrazione per costruire il modello l’intento è quello di salvare la complessità dei fenomeni.
Quando vogliamo studiare la cosa al computer dobbiamo assegnare alle variabili e al parametro una sequenza di precisi valori numerici, il che è utilissimo per farsi un’idea dei comportamenti del sistema e rappresentarli graficamente. Ma ci si rende conto facilmente che le simulazioni numeriche non possono fornire una mappa generale di tutti i comportamenti del sistema, per la quale è necessaria una soluzione generale dell’equazione. Molto spesso non esiste neppure una soluzione di questo tipo, ed è a quel punto che i metodi di approssimazione e le simulazioni al computer possono fornire indizi preziosi sulle dinamiche in esame.
C’è un altro aspetto importante nel recupero di una visione autenticamente complessa delle equazioni, ossia che anche quando una soluzione generale può ottenersi, va integrata con le condizioni limite, ad esempio le condizioni al contorno e iniziali. La soluzione di un’equazione è generale perché ci fornisce virtualmente tutti i comportamenti del sistema, ma se la interroghiamo per sapere cosa accade al sistema in un contesto spazio-temporale preciso dobbiamo utilizzare dei vincoli relativi alla geometria del sistema ed alla variabilità dei parametri e fissare l’istante iniziale a partire dal quale seguiamo la soluzione. Questo sfoltire la soluzione generale significa selezionare quelle che ci interessano in un particolare range. Quando lanciamo un sasso la traiettoria è fissata da posizione e velocità iniziali e avremmo parabole molto diverse se potessimo variare l’accelerazione di gravità. Il vantaggio di una trattazione matematica in grado di fornirci una soluzione generale è proprio quello di poter passare a una soluzione particolare che ci interessa sotto determinate condizioni, perché un fenomeno fisico non ha soltanto una forma generale, una logica interna che ci viene svelata da un’equazione, ma è qualcosa che avviene “qui” ed “ora”. Costituisco le informazioni aggiuntive che dobbiamo inserire come vincoli nella soluzione generale, per far scomparire le soluzioni che non ci interessano e vedere la forma che prende un processo fisico in quelle specifiche condizioni. Il “qui” e “ora” è ciò che accade, che ci rimanda all’etimologia di “caso”. Un’altra convinzione radicata è che causa e caso sono termini in contrasto. Quello che invece impariamo dalla matematica è che la causa e il caso sono complementari come un’equazione, che descrive una classe di eventi, e le condizioni al contorno che selezionano il singolo evento che si realizza effettivamente. In questo senso David Bohm definiva l’equazione di un processo fisico una griglia di possibilità, un’accezione suggestiva che acquista, come vedremo, un senso ancora più forte in ambito quantistico.
Possiamo studiare un fenomeno in situazioni di laboratorio, Ad esempio nel famoso esperimento di Davisson Germer di diffrazione degli elettroni, l’esperimento archetipale della Meccanica Quantistica, potremmo programmare un robot per raccogliere dati sulla distribuzione degli elettroni sullo schermo e sicuramente otterremo una buona valutazione delle zone dove la probabilità di trovare un elettrone è alta e dove invece è bassa. Ma ci fermeremmo lì. Invece dalle origini della MQ ci viene un’equazione, quella ben nota di Schrödinger, che possiamo applicare, con le giuste condizioni al contorno, per molti altri fenomeni oltre la diffrazione degli elettroni: effetto tunnel, struttura dell’atomo e, come vedremo più avanti, è possibile estenderla anche a situazioni cosmologiche.
Abbiamo detto qualcosa sulla capacità di alcune equazioni di cogliere la complessità dei fenomeni, indagando intere classi di eventi tramite l’uso di quei vincoli che sono le condizioni al contorno. Ma c’è un’altra questione interessante: cosa succede quando possiamo variare alcuni parametri dell’equazione senza cambiarne la forma generale?
Un caso significativo è quello delle celle di Benard, un esempio di struttura dissipativa che si auto-organizza. Si riscalda un fluido dal basso per osservare i moti convettivi che si generano. È un sistema in cui la temperatura diminuisce man mano che si sale. Se la variazione di temperatura tra l’interno e la superficie è piccola si ha un fenomeno di conduzione termica senza trasporto di materia. Quando il gradiente di temperatura supera un certo valore critico ha inizio un moto di convezione che si manifesta con l’emergenza di cellette all’interno del fluido.
Questo è un caso particolare di fenomeno auto-oscillatorio per cui, sotto date condizioni al contorno e per certi valori di un parametro critico (per le celle di Benard è il gradiente di temperatura) il sistema passa a una forma più organizzata, un po’ come avviene nelle transizioni di fase. In generale le situazioni di auto-organizzazione sono pilotate da un parametro d’ordine secondo una dinamica evolutiva retta da un’equazione detta di Ginzburg-Landau. Queste forme sono instabili o metastabili, ed ulteriori variazioni del parametro possono portare il sistema verso il caos. Il punto importante qui è comprendere che all’interno di un’equazione possono esistere dei parametri che agiscono concettualmente come manopole, girando le quali il sistema cambia equilibri e configurazioni e può dar luogo a situazioni diversissime tra loro, cosa che si può riassumere dicendo che una buona equazione è una griglia che modella una vasta classe di eventi e contiene le potenzialità di molti mondi possibili.
Meccanica Quantistica in breve
L’idea di griglia di possibilità, sebbene valida per ogni tipo di equazione della fisica, è particolarmente adatta a cogliere alcuni aspetti peculiari della meccanica quantistica (MQ). In genere si associano questi aspetti a comportamenti controintuitivi, ma questo è vero solo nella misura in cui la nostra idea di dinamica è legata a sassi e pianeti, i.e. a oggetti localizzabili in ogni punto della loro traiettoria su un fondale spazio-temporale. La MQ ci insegna non soltanto che questa descrizione è uno strato superficiale della realtà, ma che alle sue radici è basata su un’idea di particella insostenibile, motivo per cui seguiremo il consiglio di Mario Bunge di chiamare i sistemi che interessano la MQ quanti, e che implicano le particelle cosiddette elementari ma anche alcuni comportamenti macroscopici come la superfluidità e la superconduttività e, come abbiamo accennato, la generazione di universi in cosmologia quantistica.
L’’equazione di Schrödinger per un sistema quantistico descrive l’evoluzione di una nuvola di probabilità detta funzione d’onda (o vettore di stato), che in determinate circostanze – ad esempio interagendo con un rivelatore macroscopico come la lastra dell’esperimento di diffrazione- “collassa” in un click localizzato. Ricordiamo che le probabilità sono possibilità “pesate” e danno una valutazione numerica della possibilità di avere una localizzazione. Possiamo immaginare la nuvola dell’equazione di Schrödinger come un ribollire di probabilità; infatti queste possibilità cambiano man mano che la funzione d’onda si diffonde in un ambiente, e cambiano in modo correlato, cosa nota come non-località, quella caratteristica del mondo quantistico che dà luogo ai fenomeni di entanglement. Alla non località è legato pure il principio di sovrapposizione, noto attraverso l’esperimento concettuale del gatto di Schrödinger. La MQ ci dice che la funzione d’onda di un elettrone che può occupare due stati quantici A e B è la somma di due funzioni d’onda f(a) +f(b), che è un’operazione simile al sovrapporre due lastre di vetro colorate (blu) +(giallo) per ottenere il verde. Ma per l’elettrone non c’è uno stato equivalente al verde: ogni volta che si fa una misura il click è in A o in B, come se l’onda di probabilità collassasse in una misura o nell’altra. Ma questo non rende la sovrapposizione meno effettiva: i legami della molecola del benzene, ad esempio, sono delocalizzati in tutta la molecola attraverso una sovrapposizione legame semplice e legame doppio. E non bisogna pensare a qualche salto frenetico dall’uno all’altro e viceversa, semplicemente per ogni coppia di atomi adiacenti si ha una sovrapposizione dei due legami.
Questo è tutto quello che ci serve per quanto riguarda la MQ. L’ubiquità quantistica forse non aiuta a farsi un’idea della natura dei quanti, ma personalmente ritengo il dualismo onda-collasso molto più convincente di un mondo classico fatto di punti materiali.
Universi come oggetti quantistici
Il vuoto nella fisica classica è l’assenza di enti fisici e di ogni attività, anche se Newton era propenso ad attribuire allo spazio assoluto qualche esoterica proprietà per supportare un fenomeno straordinario come il principio di inerzia e in generale quelle che oggi chiamiamo leggi di conservazione. Questo vuoto così vuoto è anche il motivo per cui è impossibile costruire una cosmologia coerente sullo scenario della fisica classica: o l’universo è infinito oppure nasce da un big bang (uno stato primordiale concentrato e caldissimo) che cerca di coprire, non senza un certo imbarazzo tra fisica e matematica, la singolarità iniziale nello spaziotempo curvo di Einstein, una lacerazione infinita di spazio e tempo.
Nella fisica quantistica abbiamo a che fare con qualcosa di radicalmente diverso, il vuoto è il plenum di ogni processo fisico. In meccanica quantistica le particelle sono associate a comportamenti ondulatori che ne guidano l’evoluzione probabilistica, interagiscono tra loro in modo non locale e si creano e annichilano in una schiuma quantistica che intacca su scale microscopiche anche la continuità del tessuto spaziotemporale. È stato un lungo percorso quello che ha portato alla cosmologia quantistica, legato anche alla complessità delle questioni interpretative della MQ. Un momento importante è stato il lavoro di Hugh Everett III sull’interpretazione a molti mondi, in cui si ha un continuo splitting tra universi, ad esempio quello che contiene il gatto vivo e l’altro che contiene il gatto morto. Il tutto avviene in modo impercettibile, non ce ne accorgiamo, proprio come non ci accorgiamo del moto della terra. Il punto essenziale del lavoro di Everett II è stato di mettere in chiara luce che ogni interpretazione della MQ è, in un certo senso, “a molti mondi”, anche se non necessariamente in questa forma estrema di scissione. Infatti le equazioni della MQ implicano una protensione probabilistica (terminologia che sarebbe forse piaciuta a Husserl!) in forma di molte storie possibili, come si vede dagli integrali di cammino di Feynman e dal potenziale quantico di Bohm, che descrivono tutte le transazioni possibili di un sistema quantistico da A a B. Un fisico che rifletté a lungo su questi aspetti fu Bryce De Witt e fu durante qualche ora in aeroporto alla fine degli anni ‘60 che fu messa a punto l’equazione che porta il loro nome, la Wheeler-De Witt, che in termini generici potrebbe dirsi una sorta di versione cosmologica dell’equazione di Schrödinger, che ha per oggetto non un singolo quanto ma l’universo intero considerato come un oggetto quantistico. In questi ultimi anni l’importanza della WDW è diventata persino superiore a quella dell’equazione di Schrödinger, che tende ad essere considerata come un caso particolare della WDW perché maneggiare questa straordinaria equazione implica alcune scelte fondamentali sulla MQ. In altre parole dalla WDW non estraiamo soltanto modelli d’universo ma la sua struttura complessa ci aiuta a comprendere meglio alcuni aspetti della MQ fissando alcune questioni che fino a non troppo tempo fa dipendevano dal gusto ontologico delle varie interpretazioni.
Per provare a comprenderla bisogna introdurre alcune idee chiave. Una riguarda la natura quantistica dell’universo. Si dice spesso che l’universo è quantistico a scale molto piccole, ad esempio nei primi istanti del big bang. Non è esatto. Il tessuto stesso dell’universo è quantistico, e per tessuto qui intendiamo un background non locale da cui spaziotempo e particelle emergono. Inoltre la WDW è piena di manopole, parametri che devono avere un valore per individuare una soluzione. Una soluzione della WDW è una foliazione spaziotemporale che rappresenta la geometria di un universo. Nel 1986 R. Geroch e J. Hartle dimostrarono che il numero di questi fogli è incomputabile; gli universi contenuti nella Wheeler-DeWitt non si possono neppure contare in linea di principio. Se immaginiamo un mega-computer ideale (macchina di Turing) che enumera uno per uno gli universi possibili ordinati in classi individuate da un parametro, non soltanto questo lavoro non avrà mai fine, ma da questo calcolo resteranno sempre fuori un numero infinito di classi d’universo. In altre parole, il calcolo degli universi della Wheeler-DeWitt è un problema indecidibile nel senso di Gödel-Turing.
In questi ultimi anni si sono sviluppati alcuni approcci teorici che al posto della singolarità della Relatività Generale pongono proprio gli universi possibili della Wheeler De Witt. Si tratta di un approccio alle nucleazioni del vuoto che fu iniziato da Sydney Coleman, uno dei più brillanti teorici della teoria quantistica dei campi (1937- 2007). L’idea è quella di capire, sulla base della fisica che conosciamo, in quale “bolla” d’universo viviamo [per curiosità più tecniche vedi: Fiscaletti D, Licata I, Tamburini F. Bubble Nucleation from a de Sitter–Planck Background with Quantum Boltzmann Statistics. Symmetry. 2022; 14(11):2297]. Gli universi che possono essere prodotti dalla WDW sono infiniti inesplorabili, ma un universo fisico è anche una struttura coerente, con leggi di conservazione, costanti di accoppiamento e un gran numero di parametri che devono essere in accordo tra loro, e questo ci aiuta ad esplorare le possibilità della WDW. Un ingrediente importante è la costante cosmologica, una sorta di “molla” energetica del vuoto che fissa evoluzione e geometria dell’universo. Oggi sappiamo dalle osservazioni che il nostro è un universo di De Sitter, dotato di una costante cosmologica con un valore piuttosto piccolo ma sufficiente a produrre un’espansione accelerata. Questa caratteristica pone dei vincoli molto precisi al tipo di strutture che possono emergere nell’universo da noi abitato. Un esempio è la forte relazione tra microfisica e cosmologia, perché esiste una relazione tra la costante cosmologica e il meccanismo di Higgs che assegna alle particelle la massa. Grazie alle infinite soluzioni della WDW, è possibile intravedere connessioni tra aree attualmente molto lontane della fisica. Gli universi prodotti non soltanto possono essere estremamente diversi dal nostro, ma in alcuni casi non sembrano neppure tali. Alcuni, infatti, somigliano alle particelle elementari, altri sono mini buchi neri. La questione aperta è se si riuscirà ad aggiungere vincoli alla WDW in modo che le è probabilità di altri universi scenda a zero, e qui sarà importante la scala più piccola accessibile alla fisica teorica che è la scala di Planck, oppure se viviamo in un piccolo dominio di un multiverso dove coesistono vuoti strutturati in modo differente. Una versione, insomma, della domanda: siamo soli nel multiverso?
Matematica “calda”
Questi pochi esempi dovrebbero essere sufficienti a mostrare che un’equazione della fisica matematica non è un algoritmo, ma un generatore di possibilità, che possono poi essere simulate da un algoritmo. Va detto che esiste forse una ragione più profonda per cui l’equipollenza tra equazioni e algoritmi sembra così immediata, ed è radicata nel modo di concepire la matematica come disciplina “fredda”, fatta di catene logiche espresse in un gran numero di arabeschi formali dall’aspetto affascinante e incomprensibile. In effetti la tentazione formalista lanciata da David Hilbert nel 1900 al congresso internazionale dei matematici a Parigi sedusse un gran numero di matematici. L’idea era quella di comprimere l’intero corpus delle conoscenze matematiche in un sistema assiomatico, un piccolo insieme di proposizioni dalle quale poi, tramite un insieme di regole di inferenza, era possibile ottenere ogni teorema girando la manovella della logica. A tutti gli effetti, Hilbert si domandava se la matematica fosse un gigantesco algoritmo, una sorta di macchina sintattica fatta da simboli e concatenazioni. Di quest’epoca che oggi può sembrarci un po’ folle ci restano monumenti che continuano ad esercitare il loro fascino, come i Principia Mathematica di Bertrand Russel e Alfred North Whitehead (1910-1913), che tentano di ridurre l’intera matematica a un pugno di assiomi della logica formale. Scritti interamente in linguaggio formalizzato, oggi potrebbero essere esposti come arte concettuale, ma com’è noto, le ambizioni di questa corrente furono troncate dai teoremi di Gödel. La matematica non può essere “zippata” in un singolo sistema formale senza rischiare incoerenza e incompletezza, cosa che può essere spiegata dicendo che il lavoro dei matematici non è quello di manipolare sintatticamente dei simboli (come può sembrare dalle pagine dei libri o dei lavori pubblicati), ma gestiscono significati generati da un tipo particolare di immaginazione. La frase famosa di Einstein, nessun fisico pensa con formule, può essere applicata anche ai matematici, persino in misura maggiore, visto che la matematica non è vincolata ad alcun dato sperimentale. Da un po’ di anni le neuroscienze applicate alla matematica hanno mostrato quanto è profonda e radicata nella nostra mente questo tipo di immaginazione per la quale non è necessario postulare un chip cerebrale specializzato (il mito del genio matematico troppo spesso confuso con l’idiot savant del calcolatore prodigio), e si tratta della cooperazione di aree cerebrali più vicine all’esperienza corporea, una forma emergente di sinestesia per cui il sistema neurale si riconfigura davanti allo stimolo di una forma o una dinamica, qualcosa di non troppo diverso a quello che sperimentano i musicisti quando lavorano a un’idea musicale. E proprio come nel caso della musica, il piacere della matematica non è negato a nessuno, in maggiore o minore misura.
[vedi George Lakoff e Rafael Nunez, Da dove viene la matematica. Come la mente embodied dà origine alla matematica, Bollati Boringhieri, Torino 2005; David Bessis, Mathematica. Un’avventura alla ricerca di noi stessi, Neri Pozza Milano 2023]
La matematica è calda, si sviluppa come una forma vivente, è più ricca di problemi nebulosi che di risposte cristalline. Esistono teoremi solidi la cui dimostrazione si è rivelata più volte errata, e proposizioni apparentemente semplicissime che resistono ad ogni tentativo.
Scegliendo di osservare la matematica da molto vicino, a partire delle sue pratiche, le vecchie filosofie formaliste appaiono come racconti attorno a una cattedrale inesistente, un pour parler della matematica sospeso tra una matematica ideale e perfetta che si sviluppa per gemmazione logica e il campo di battaglia effettivo, in cui si scontrano ogni giorno inferenza e intuizione, logica ed euristica, certezza e incertezza in quel caratteristico farsi di possibilità e vincoli che è l’andamento della matematica tra “invenzione” e “scoperta”.
La matematica è calda, come la musica, è per tutti, scrive Ignazio. Stupenda sintesi. Ci faccio un Post in Facebook. Grazie dottor Licata.
La matematica è calda, scrive Ignazio, come la musica, è per tutti: sintesi stupenda, pubblico post su Facebook. Grazie dottor Licata.