La teoria della complessità

Con estrema sintesi e chiarezza, Fritjof Capra e Pier Luigi Luisi ci accompagnano in un percorso  da Galileo ai frattali, alla ricerca di una teoria matematica in grado di esprimere la complessità dei sistemi viventi.


IN COPERTINA e nel testo: Chromatin (series) Medina Dugger e Francois Beaurain2017

Questo testo è tratto da “Vita e Natura”, di Fritjof Capra e Pier Luigi Luisi. Ringraziamo Aboca Edizioni per la gentile concessione.


di Fritjof Capra e Pier Luigi Luisi

Più volte nella storia della filosofia e della scienza è stata espressa, in vario modo, l’idea che i sistemi viventi siano reti auto-organizzate, i cui componenti sono tutti interconnessi e interdipendenti. Tuttavia, solo recentemente è stato possibile formulare modelli dettagliati di sistemi auto-organizzati, grazie alla disponibilità di nuovi strumenti matematici, che per la prima volta hanno consentito agli scienziati di descrivere e modellare matematicamente l’interconnessione delle reti viventi. 

Queste reti sono così intricate da sfidare la nostra immaginazione. Anche il più semplice essere vivente, la cellula di un batterio, è una rete ad alta complessità che coinvolge letteralmente migliaia di reazioni chimiche interdipendenti. Prima degli anni settanta non c’era semplicemente alcun modo per modellare matematicamente queste reti. Ma poi sono comparsi sulla scena potentissimi computer che hanno dato la possibilità, a scienziati e matematici, di sviluppare un nuovo insieme di concetti e tecniche per trattare questa smisurata complessità. Nei due decenni successivi, queste nuove concezioni si sono fuse in un coerente quadro di riferimento matematico, noto comunemente come teoria della complessità. La definizione tecnica è dinamica non-lineare, talvolta detta anche “teoria dei sistemi non-lineari” o “teoria dei sistemi dinamici”. La teoria del caos e la geometria dei frattali sono branche importanti di questa nuova matematica della complessità, che è stata trattata anche in parecchi libri divulgativi (per una eccellente introduzione non-tecnica si veda Stewart, 2002,) e in testi più specialistici (per esempio Hilborn, 2000; Strogatz, 1994). La scoperta della dinamica non-lineare ha portato a progressi decisivi nella comprensione della vita biologica ed è comunemente considerata lo sviluppo scientifico più promettente di fine Novecento. 

Per evitare confusioni, è importante tenere ben presente che scienziati e matematici intendono cose diverse quando parlano di una teoria. Una teoria scientifica, come la teoria dei quanti o la teoria dell’evoluzione di Darwin, è una spiegazione di una serie ben definita di fenomeni naturali, basata su osservazioni sistematiche e formulata in termini di un insieme di concetti e principi coerenti, ma pur sempre approssimativi (come abbiamo sottolineato nell’Introduzione). 

La teoria della complessità non è una teoria scientifica, ma piuttosto una teoria matematica, come il calcolo o la teoria delle funzioni. Con le parole del matematico Ian Stewart (Stewart 2002, p. vii): una teoria matematica è “un corpus unitario di sapere matematico con un’identità chiara e coerente.” 

Ciò implica che la teoria della complessità in sé stessa non rappresenta un avanzamento scientifico, ma può essere, ed è stata, la base di nuove teorie scientifiche se viene utilizzata in modo appropriato (e ingegnoso) per spiegare fenomeni naturali non-lineari. 

La nuova matematica, come vedremo in modo dettagliato, è una matematica di relazioni e pattern. Quando si risolve un’equazione non-lineare con queste nuove tecniche, il risultato non è una formula ma una forma visiva, un pattern tracciato dal computer. Gli attrattori strani della teoria del caos e i frattali della geometria dei frattali sono esempi di tali pattern. Sono descrizioni visive del comportamento complesso del sistema. La dinamica non-lineare, dunque, rappresenta un approccio qualitativo, piuttosto che quantitativo, alla complessità e quindi incorpora il cambio di prospettiva che è caratteristico del pensiero sistemico – dagli oggetti alle relazioni, dal misurare al mappare, dalla quantità alla qualità.

La matematica della scienza classica

 

Geometria e algebra

Per apprezzare la novità della nuova matematica della complessità è utile metterla a confronto con la matematica della scienza classica. 

Quando Galileo paragonò l’universo a un grande libro scritto in linguaggio matematico, specificò che i caratteri di questo linguaggio erano “triangoli, cerchi, e altre figure geometriche”. 

In altre parole, per Galileo matematica significava geometria. Egli ereditò questo punto di vista dai filosofi dell’antica Grecia, che tendevano a geometrizzare tutti i problemi matematici e a cercare risposte in termini di figure geometriche. Si dice che l’accademia di Platone ad Atene, per ben nove secoli la principale scuola greca di scienza e filosofia, avesse come insegna al suo ingresso: “Non entri chi non conosce la geometria”.

In Persia, molti secoli dopo, un approccio molto differente per risolvere i problemi matematici, noto come algebra, venne sviluppato da filosofi islamici che a loro volta lo avevano appreso da matematici indiani. La parola deriva dall’arabo al-jabr (“mettere insieme”) e si riferisce al processo di ridurre il numero delle quantità non note attraverso la loro ricomposizione in equazioni. 

L’algebra elementare prevede equazioni in cui le lettere – per convenzione prese dall’inizio dell’alfabeto – sostituiscono dei valori numerici. 

Un noto esempio, che molti lettori ricorderanno dagli anni di scuola, è l’equazione

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 

L’algebra superiore, invece, tratta relazioni, dette “funzioni”, fra numeri variabili sconosciuti o “variabili,” che sono denotate da lettere prese per convenzione dalla fine dell’alfabeto.

Ad esempio, nell’equazione 

y = x + 1

si dice che la variabile y è “una funzione di x”, il che è scritto con l’abbreviazione matematica y = f(x).

Al tempo di Galileo, dunque, esistevano due differenti metodi per risolvere i problemi matematici, la geometria e l’algebra, che provenivano da culture differenti. Questi due approcci vennero unificati da Cartesio che inventò un metodo per rendere le formule algebriche e le equazioni visibili come forme geometriche. L’invenzione di Cartesio, oggi nota come geometria analitica, è stato il più importante fra i suoi numerosi contributi alla matematica. Include le coordinate cartesiane, il sistema di coordinate così chiamato in suo onore. Ad esempio, quando la relazione fra le due variabili x e y del precedente esempio, l’equazione y = x + 1, viene rappresentata in un grafico di coordinate cartesiane, vediamo che corrisponde a una linea retta (Fig. 6.1). Per questo motivo, equazioni di questo tipo sono chiamate equazioni “lineari”.

Analogamente, l’equazione y = x2 è rappresentata da una parabola (Fig. 6.2). Le equazioni di questo tipo, che corrispondono a curve sul piano cartesiano, sono dette equazioni “non-lineari”. La loro caratteristica distintiva è che una o più di una delle variabili sono elevate al quadrato o ad esponenti più alti. 

Equazioni differenziali 

Con il nuovo metodo di Cartesio, le leggi della meccanica che Galileo aveva scoperto potevano essere espresse sia in forma algebrica come equazioni sia in forma geometrica come figure. Tuttavia, c’era un importante problema matematico che né Galileo né Cartesio né nessun altro loro contemporaneo potevano risolvere. Essi non erano in grado di scrivere un’equazione che descrivesse il movimento di un corpo a velocità variabile, che accelerava o rallentava. 

Per capire il problema, consideriamo due corpi in movimento, uno che viaggia a velocità costante, l’altro a velocità accelerata. Se mappiamo la loro distanza in funzione del tempo, otteniamo i due grafici illustrati nella Figura 6.3. Nel caso del corpo che accelera, la velocità cambia in ogni istante, e questo è qualcosa che Galileo e i suoi contemporanei non potevano esprimere matematicamente. In altre parole, non erano in grado di calcolare quale fosse, in un dato istante, l’esatta velocità di un corpo che accelera.

Il problema venne risolto un secolo dopo da Isaac Newton, il gigante della scienza classica, e quasi contemporaneamente dal filosofo e matematico tedesco Gottfried Wilhelm Leibniz. Per risolvere il problema che per secoli aveva assillato matematici e filosofi, Newton e Leibniz, in modo indipendente, inventarono un nuovo metodo matematico, noto come calcolo differenziale e considerato la porta di ingresso alla “matematica superiore”.

Per la scienza, l’invenzione del calcolo differenziale fu un passo da gigante. Per la prima volta nella storia umana il concetto di infinito, che da tempo immemorabile appassionava filosofi e poeti, ricevette una precisa definizione matematica, aprendo nuove e innumerevoli opportunità per l’analisi dei fenomeni naturali. La potenza di questo nuovo strumento di analisi può essere illustrata con il celebre paradosso di Zenone, filosofo greco dell’antica scuola eleatica. I filosofi greci e i loro successori discussero per secoli di questo paradosso, ma non riuscirono mai a risolverlo perché sfuggiva loro la definizione esatta dell’infinitamente piccolo. 

La definizione precisa del limite dell’infinitamente piccolo è l’aspetto cruciale del calcolo differenziale. I limiti delle differenze infinitamente piccole sono chiamati “differenziali” e per questo il calcolo inventato da Newton e Leibniz è noto come calcolo differenziale. Le equazioni che includono i differenziali si chiamano equazioni differenziali. Nel XVII secolo Isaac Newton usò questo calcolo per descrivere tutti i possibili movimenti dei corpi solidi nei termini di un insieme di equazioni differenziali, che da allora sono note come le “equazioni del moto di Newton”.

Complessità nella termodinamica

Nel Settecento e nell’Ottocento, le equazioni del moto di Newton sono state espresse in forme più generali, più astratte e più eleganti da alcune delle più grandi menti della storia della matematica. Le riformulazioni di Pierre Laplace, Leonhard Euler, Joseph Lagrange e William Hamilton non hanno cambiato il contenuto delle equazioni di Newton, ma la loro sofisticatezza crescente ha consentito ai ricercatori di analizzare una gamma di fenomeni naturali ancora più vasta. 

Applicando la sua teoria al movimento dei pianeti, Newton stesso era stato in grado di riprodurre le caratteristiche fondamentali del sistema solare, ma non i suoi dettagli più sottili. Laplace, invece, rifinì e perfezionò così tanto i calcoli di Newton da essere in grado di spiegare il moto dei pianeti, della luna e delle comete fin nei più piccoli dettagli, così come il flusso delle maree e altri fenomeni relativi alla gravità. 

Questi straordinari successi hanno fatto credere agli scienziati del primo Novecento che l’universo fosse effettivamente un grande sistema meccanico che si muoveva secondo le leggi del moto di Newton. Per questo le equazioni differenziali di Newton diventarono le basi matematiche del paradigma meccanicistico. Il mondo-macchina newtoniano era considerato completamente causale e deterministico. Tutto ciò che accadeva aveva una causa specifica e produceva un effetto specifico, e il futuro di ogni parte del sistema poteva – in teoria – essere predetto con assoluta certezza, se il suo stato fosse stato noto in ogni istante in tutti i dettagli. 

Nella pratica, però, cercare di comprendere i fenomeni naturali attraverso le equazioni del moto di Newton si rivelò ben presto un approccio pieno di limiti. Come nota Ian Stewart (2002, p. 38), “scrivere le equazioni è una cosa, risolverle è un’altra, del tutto diversa”. Le soluzioni esatte erano limitate a pochi fenomeni regolari, mentre la complessità di vaste aree della natura sembrava sfuggire a ogni modellazione meccanicistica. Ad esempio, il moto relativo di due corpi sotto la forza di gravità poteva essere calcolato con precisione; quello di tre corpi era già troppo difficile per una soluzione esatta; e quando si arrivava ai gas, composti da milioni di particelle, la situazione sembrava senza speranza. 

D’altra parte, fisici e chimici avevano osservato da tempo delle regolarità nel comportamento dei gas, che erano state formulate in cosiddette “leggi dei gas”, relazioni matematiche semplici fra la temperatura, il volume e la pressione di un gas. Come poteva questa apparente semplicità derivare dall’enorme complessità del moto delle singole molecole? 

Nel Novecento, il grande fisico James Clerk Maxwell trovò una risposta. Anche se l’esatto comportamento delle molecole di un gas non poteva essere determinato, Maxwell intuì che il loro comportamento medio poteva dar luogo alle regolarità osservate. Così, Maxwell propose di usare metodi statistici per formulare le leggi del moto proprie dei gas. Il metodo di Maxwell ebbe un grande successo e permise immediatamente ai fisici di spiegare le proprietà di base di un gas in termini di comportamento medio delle sue molecole. 

Ad esempio, fu chiaro che la pressione di un gas è la forza causata dalla spinta media delle molecole (per essere precisi, la forza media divisa per l’area contro cui il gas sta spingendo), mentre la temperatura si rivelò essere proporzionale all’energia media di movimento delle molecole. La statistica e la teoria delle probabilità, la sua base teorica, che erano state sviluppate a partire dal Settecento, potevano essere applicate direttamente alla teoria dei gas. La combinazione dei metodi statistici con la meccanica newtoniana ha dato origine a una nuova branca della scienza, appropriatamente chiamata “meccanica statistica,” che diventò la base teorica della termodinamica, la teoria del calore.

Il problema della non-linearità

Così, alla fine del Novecento, gli scienziati erano riusciti a sviluppare due differenti strumenti matematici per modellare i fenomeni naturali: da una parte, equazioni del moto esatte e deterministiche per i sistemi semplici e, dall’altra, le equazioni della termodinamica, basate sull’analisi statistica di quantità medie, per i sistemi complessi. 

Sebbene queste due tecniche fossero abbastanza diverse, avevano una cosa in comune. Entrambe utilizzavano equazioni lineari. Le equazioni newtoniane del moto sono molto generali, adatte sia per fenomeni lineari che non-lineari; effettivamente, di tanto in tanto furono formulate delle equazioni non-lineari. Ma poiché erano molto difficili da risolvere e per la natura caotica dei fenomeni fisici ad esse associati – quali i flussi turbolenti di acqua e aria –, i ricercatori generalmente evitarono di studiare i sistemi non-lineari.

Qui occorre forse soffermarsi su un punto tecnico. I matematici distinguono fra variabili dipendenti e indipendenti. Nella funzione y = f(x), y è la variabile dipendente e x la variabile indipendente. Le equazioni differenziali sono dette “lineari” quando tutte le variabili dipendenti sono di primo grado, mentre le variabili indipendenti possono essere di gradi più elevati, e sono dette “non-lineari” quando le variabili dipendenti sono di grado superiore al primo.

Fino a poco tempo fa, ogni volta che comparivano in scienza equazioni non-lineari venivano immediatamente “linearizzate,” cioè venivano sostituite con approssimazioni lineari. Così, invece di descrivere i fenomeni nella loro piena complessità, le equazioni della scienza classica trattavano piccole oscillazioni, onde piane, piccole variazioni di temperatura, e così via. Questa abitudine diventò così radicata che molte equazioni venivano linearizzate mentre venivano costruite, cosicché i testi scientifici non le includevano neppure nella versione non-lineare. Di conseguenza, molti scienziati e ingegneri arrivarono a credere che virtualmente tutti i fenomeni naturali potessero essere descritti da equazioni lineari. Come osserva Ian Stewart (2002, p. 83): “Come il Settecento credette in un universo meccanico, una sorta di grandioso meccanismo a orologeria, così la prima metà del Novecento credette in un universo lineare”.

Esplorazione dei sistemi non-lineari

Negli ultimi trent’anni il cambiamento decisivo è stato riconoscere che la natura, come ha sintetizzato Stewart, è “inesorabilmente non-lineare”. I fenomeni non-lineari dominano il mondo non vivente molto più di quanto avessimo pensato, e sono un aspetto essenziale della rete organizzata dei sistemi viventi. La dinamica non-lineare è la prima matematica che consente agli scienziati di trattare questi fenomeni non-lineari nella loro piena complessità.

L’esplorazione dei sistemi non-lineari durante gli ultimi trent’anni ha avuto un impatto profondo sull’intero mondo scientifico poiché ci ha costretto a rivalutare alcune nozioni basilari riguardanti le relazioni tra un modello matematico ed i fenomeni che esso descrive. Una di queste nozioni riguarda la nostra comprensione di semplicità e complessità.

Nel mondo delle equazioni lineari eravamo convinti che i sistemi descritti da equazioni semplici si comportassero in modi semplici, mentre quelli descritti da equazioni complicate si comportassero in modi complicati. Nel mondo non-lineare, che come abbiamo scoperto include la maggior parte del mondo reale, semplici equazioni deterministiche possono invece produrre un’insospettata ricchezza e varietà di comportamenti. D’altra parte, comportamenti complessi e apparentemente caotici possono dar luogo a strutture ordinate, pattern fini ed eleganti. Infatti, nella teoria del caos il termine “caos” ha acquisito un nuovo significato tecnico. Il comportamento di sistemi caotici è casuale soltanto in apparenza, perché in realtà manifesta un più profondo livello di ordine schematico. Come vedremo nelle prossime pagine, le nuove tecniche matematiche ci consentono di rendere visibili in forme distinte questi schemi o pattern sottostanti. 

Un’altra proprietà importante delle equazioni non-lineari, che ha sempre messo in crisi gli scienziati, è data dal fatto che spesso non permettono di fare delle predizioni esatte, anche quando le equazioni sono strettamente deterministiche. Vedremo che questa caratteristica sconcertante della non-linearità ha comportato uno spostamento di attenzione dall’analisi quantitativa a quella qualitativa.

Poincaré e le orme del caos

La dinamica non-lineare, cioè la matematica che ha consentito di mettere ordine nel caos, è stata sviluppata molto recentemente, ma le sue basi erano state gettate alla fine del XIX secolo da Henri Poincaré (1854-1912) uno dei più grandi matematici dell’era moderna, Fra i matematici del XX secolo, Poincaré fu l’ultimo grande generalista, offrendo innumerevoli contributi virtualmente in tutte le aree della matematica. Le sue opere complete si articolano in parecchie centinaia di volumi.

Dal punto di vista privilegiato del XXI secolo, possiamo renderci conto che il più importante contributo di Poincaré è stato quello di riportare le immagini visive nella matematica. Dal XVII secolo in poi, lo stile della matematica europea si era gradualmente spostato dalla geometria – la matematica delle forme visive– verso l’algebra – la matematica delle formule. Laplace, in particolare, è stato uno dei più grandi formalisti e si vantava che il suo Analytical Mechanics non contenesse nemmeno una figura. Poincaré capovolse questa tendenza, rompendo la forzatura dell’analisi e delle formule che erano diventate sempre più oscure per ritornare di nuovo agli schemi visivi.

La matematica visiva di Poincaré, però, non è la geometria di Euclide. È una geometria di tipo nuovo, una matematica dei pattern e delle relazioni nota come topologia. La topologia è una geometria in cui tutte le lunghezze, gli angoli e le aree possono essere deformati a piacere: un triangolo può essere trasformato in modo continuo in un rettangolo, il rettangolo in un quadrato, il quadrato in un cerchio e così via. Allo stesso modo, un cubo può essere trasformato in un cilindro, il cilindro in un cono, il cono in una sfera. A causa di queste continue trasformazioni, la topologia è comunemente nota comune come geometria del “foglio di gomma”. Tutte le figure che possono essere trasformate una nell’altra, in modo continuo, attraverso piegamenti, allungamenti e rotazioni sono dette “topologicamente equivalenti”.

Non tutto però può essere cambiato in queste trasformazioni topologiche. Infatti la topologia si interessa proprio di quelle proprietà delle figure geometriche che non cambiano quando le figure vengono trasformate. Le intersezioni di linee, per esempio, rimangono intersezioni, e il foro in un “toro” (un solido simile ad una ciambella) non può essere trasformato. Così una ciambella col buco può essere trasformata topologicamente in una tazza da caffè (con il foro che si trasforma in manico) ma mai in un pancake. La topologia, così, è davvero una matematica di relazioni, di pattern immutabili o “invarianti”.

Poincaré usò concetti topologici per analizzare le caratteristiche qualitative di complessi problemi dinamici e, così facendo, pose le basi per la matematica della complessità che sarebbe apparsa un secolo più tardi. Fra i vari problemi che Poincaré analizzò in questo modo c’è il famoso problema dei tre corpi nella meccanica celeste – il moto relativo di tre corpi sottoposti ad una reciproca attrazione gravitazionale – che nessuno fino ad allora era stato capace di risolvere. Applicando il suo metodo topologico a un problema dei tre corpi leggermente semplificato, Poincaré fu in grado di determinare la forma generale delle traiettorie che riscontrò essere di una complessità imponente. Nelle sue parole (citato da Stewart, 2002, p. 71): “Se si cerca di rappresentare la figura formata da queste due curve e dalle loro intersezioni in numero infinito […] queste intersezioni formano una sorta di traliccio, di tessuto, di rete dalle maglie infinitamente compatte; ognuna di queste curve non deve mai autointersecarsi, ma deve ripiegarsi su sé stessa in un modo molto complesso, per venire a intersecare un’infinità di volte tutte le maglie della rete. Si rimane colpiti dalla complessità di questa figura, che io non tento neppure di disegnare”.

Ciò che Poincaré immaginava mentalmente oggi è definito un “attrattore strano”. Nelle parole di Ian Stewart (2002, p. 72), “Poincaré stava osservando le orme del caos”.

Dimostrando che delle semplici equazioni deterministiche del movimento possono produrre una complessità incredibile che sfida ogni tentativo di previsione, Poincaré mise in discussione le fondamenta stesse della meccanica newtoniana. Tuttavia, per un capriccio della storia, gli scienziati non colsero la sua sfida. Infatti, pochi anni dopo che Poincaré aveva pubblicato il suo lavoro sul problema dei tre corpi, Max Planck scoprì i quanti di energia e Albert Einstein pubblicò la sua teoria della relatività. Per i successivi cinquant’anni i fisici e i matematici furono completamente assorbiti dagli sviluppi rivoluzionari della fisica dei quanti e dalla teoria della relatività e la scoperta innovativa di Poincaré passò dunque in secondo piano, e si dovette attendere fino agli anni sessanta perché gli scienziati si imbattessero nuovamente nelle complessità del caos. 

Principi di dinamica non-lineare

 

Traiettorie in spazi astratti

Le tecniche matematiche che hanno consentito ai ricercatori di scoprire, negli ultimi quarant’anni, pattern ordinati in sistemi caotici, sono basate sull’approccio topologico di Poincaré e sono strettamente legate allo sviluppo dei computer. Grazie a potentissimi computer, i ricercatori possono risolvere equazioni non-lineari con tecniche che prima non erano disponibili. Queste macchine possono facilmente tracciare le traiettorie complesse che Poincaré non aveva nemmeno tentato di disegnare. 

Come molti lettori ricorderanno dai tempi della scuola, un’equazione si risolve manipolandola fino a che non si trova una formula finale che rappresenta la soluzione. Questo significa risolvere “analiticamente” l’equazione. Il risultato è sempre una formula. La maggior parte delle equazioni non-lineari che descrivono i fenomeni naturali sono troppo difficili per essere risolte analiticamente. Esiste però un’altra strada, risolvere l’equazione “numericamente”, che comporta tentativi ed errori. Si provano varie combinazioni di numeri per le diverse variabili fino a che non se ne trova una che soddisfa l’equazione. Per farlo in modo efficiente sono state sviluppate tecniche speciali e trucchi, ma per molte equazioni il procedimento è estremamente difficile, richiede molto tempo e offre solo soluzioni molto sommarie e approssimative. 

Tutto è cambiato quando sono entrati in scena nuovi computer ad altissime prestazioni. Oggi abbiamo programmi che sono in grado di risolvere un’equazione in modo estremamente rapido e accurato. Con i nuovi metodi le equazioni non-lineari possono essere risolte al massimo livello di precisione. Tuttavia le soluzioni sono di tipo molto diverso. Il risultato non è una formula, ma un enorme insieme di valori per le variabili che soddisfano l’equazione, e il computer può essere programmato per tracciare la soluzione come una curva, o un insieme di curve, in un grafico. Questa tecnica ha permesso ai ricercatori di risolvere complesse equazioni non-lineari associate a fenomeni caotici e scoprire l’ordine che sta sotto l’apparente caos.

Per svelare questi pattern ordinati, le variabili di un sistema complesso vengono visualizzate in uno spazio matematico astratto detto “spazio delle fasi”. Si tratta di una tecnica ben nota che è stata sviluppata in termodinamica al volgere del XIX secolo. Ogni variabile del sistema è associata ad una coordinata differente in questo spazio astratto e ogni singolo punto nello spazio delle fasi descrive l’intero sistema. Con il progressivo mutare del sistema nel tempo, cambiano anche le sue variabili e perciò il punto traccia una traiettoria, conosciuta come attrattore, che è una rappresentazione matematica del comportamento del sistema nel lungo periodo. 

Negli ultimi vent’anni la tecnica dello spazio delle fasi è stata usata per esplorare una grande varietà di sistemi complessi. Caso dopo caso, gli scienziati e i matematici hanno creato equazioni non-lineari, le hanno risolte numericamente e hanno lasciato ai computer il compito di tracciare le soluzioni come traiettorie in uno spazio delle fasi. 

Con loro grande sorpresa, questi ricercatori hanno scoperto che esiste un numero molto limitato di attrattori differenti. Le loro forme possono essere classificate topologicamente, e le proprietà dinamiche generali di un sistema possono essere dedotte dalla forma del suo attrattore.

Ci sono tre tipi fondamentali di attrattori: attrattori a punto fisso, corrispondenti a sistemi che raggiungono un equilibrio stabile; attrattori periodici, a cui corrispondono oscillazioni periodiche; e i cosiddetti “attrattori strani” che corrispondono a sistemi caotici. Un tipico esempio di un sistema con un attrattore strano è il “pendolo caotico”, studiato per la prima volta dal matematico giapponese Yoshisuke Ueda alla fine degli anni settanta. 

Si tratta di un circuito elettronico non-lineare alimentato dall’esterno, che è relativamente semplice ma produce un comportamento straordinariamente complesso. Ogni oscillazione di questo oscillatore caotico è unica. Il sistema non si ripete mai, in modo tale che ogni ciclo copre una nuova regione dello spazio di fase.

L’effetto farfalla

I sistemi caotici sono caratterizzati da un’estrema sensibilità alle condizioni iniziali. Dei cambiamenti minimi nello stato iniziale del sistema possono condurre nel tempo a conseguenze di vasta portata. Nella teoria del caos, tale comportamento è noto come l’effetto farfalla, a causa dell’affermazione semiseria secondo cui un battito di ali di una farfalla a Pechino oggi, può causare una tempesta a New York il mese prossimo. L’effetto farfalla fu scoperto nei primi anni sessanta dal meteorologo Edward Lorenz (1917-2008), che ideò un modello molto semplice di condizioni meteorologiche che consisteva in tre coppie di equazioni non-lineari. Egli scoprì che le soluzioni a queste equazioni erano estremamente sensibili alle condizioni iniziali. Virtualmente, dallo stesso punto di partenza, due traiettorie potevano svilupparsi in modi completamente diversi, rendendo impossibile qualsiasi previsione di lungo periodo.

Questa scoperta turbò profondamente la comunità scientifica, che era abituata ad affidarsi alle equazioni deterministiche per predire con grande precisione e nel corso di un vasto arco temporale fenomeni come le eclissi solari o l’apparizione delle comete. Sembrava inconcepibile che equazioni del moto strettamente deterministiche potessero portare a risultati non prevedibili. Eppure, era esattamente ciò che Lorenz aveva scoperto. Il modello di Lorenz non è una rappresentazione realistica di un particolare fenomeno atmosferico, ma è un esempio straordinario di come un semplice insieme di equazioni non-lineari possa generare un comportamento molto complesso. La sua pubblicazione nel 1963 segnò l’inizio della teoria del caos e l’attrattore di questo modello, da quel momento conosciuto come l’attrattore di Lorenz, divenne l’attrattore strano più celebre e più studiato al mondo. Mentre l’attrattore di Ueda è bidimensionale, quello di Lorenz è tridimensionale (Fig. 6.10). Quando lo si traccia, il punto nello spazio delle fasi si muove in maniera apparentemente casuale attorno ad un punto fisso, compiendo alcune oscillazioni di ampiezza crescente, seguite da alcune oscillazioni attorno a un secondo punto fisso, per poi muoversi improvvisamente all’indietro e oscillare nuovamente attorno al primo punto e così via.

Dalla quantità alla qualità

L’impossibilità di predire attraverso quale punto dello spazio delle fasi passerà in un dato momento la traiettoria dell’attrattore di Lorenz, nonostante il sistema sia governato da equazioni deterministiche, è una caratteristica che lo accomuna a tutti i sistemi caotici. Tuttavia, questo non significa che la teoria del caos non sia capace di formulare alcun tipo di previsione. 

Possiamo ancora fare previsioni molto attendibili, ma esse riguardano le caratteristiche qualitative del comportamento del sistema piuttosto che dei valori precisi delle sue variabili in un dato momento. La nuova matematica rappresenta dunque il passaggio dalla quantità alla qualità caratteristico del pensiero sistemico generale. Laddove la matematica convenzionale tratta di quantità e formule, la dinamica non-lineare ha a che fare con qualità e pattern.

Infatti, l’analisi dei sistemi non-lineari nei termini delle caratteristiche topologiche dei loro attrattori è conosciuta come “analisi qualitativa”. Un sistema non-lineare può avere diversi attrattori che possono essere di differenti tipologie, sia “caotici” o “strani”, sia non-caotici. Tutte le traiettorie che iniziano all’interno di una certa regione dello spazio delle fasi condurranno prima o poi allo stesso attrattore. Questa regione è chiamata il “bacino di attrazione” di quell’attrattore. Lo spazio delle fasi di un sistema non-lineare può spesso essere diviso in diversi bacini di attrazione, ognuno contenente il suo attrattore particolare.

L’analisi qualitativa di un sistema dinamico, dunque, consiste nell’identificare gli attrattori del sistema e i suoi bacini di attrazione, nonché nel classificarli secondo le loro caratteristiche topologiche. Il risultato è una fotografia dinamica dell’intero sistema, chiamata il “ritratto delle fasi”. I metodi matematici per analizzare i ritratti delle fasi si basano sul lavoro pionieristico di Poincaré e furono ulteriormente sviluppati e perfezionati dal topologo Stephen Smale nei primi anni sessanta.

Smale usò la sua tecnica non solo per analizzare i sistemi descritti da una serie di equazioni non-lineari, ma anche per studiare la risposta di tali sistemi a piccole modifiche delle loro equazioni. Se i parametri delle equazioni cambiano lentamente, il ritratto di fase, cioè la forma dei suoi attrattori e dei suoi bacini di attrazione, passerà tendenzialmente attraverso delle leggere alterazioni, senza mutare alcuna delle sue caratteristiche fondamentali. Smale usò il termine “strutturalmente stabile” per descrivere questi sistemi, in cui piccoli cambiamenti nelle equazioni non modificano le caratteristiche fondamentali del ritratto di fase. 

In molti sistemi non-lineari, tuttavia, dei piccoli cambiamenti di alcuni parametri possono produrre dei mutamenti sostanziali nelle caratteristiche di base del ritratto di fase. Gli attrattori possono scomparire, o trasformarsi l’uno nell’altro, oppure nuovi attrattori possono comparire all’improvviso. I sistemi di questo tipo sono detti strutturalmente instabili e i punti critici di instabilità vengono chiamati “punti di biforcazione”, poiché sono dei punti nell’evoluzione del sistema in cui improvvisamente compare un bivio e il sistema si ramifica in una nuova direzione. Matematicamente, i punti di biforcazione segnano degli improvvisi cambiamenti nel ritratto di fase del sistema. Fisicamente, corrispondono a punti di instabilità in cui il sistema cambia bruscamente e d’improvviso appaiono nuove forme di ordine.

Questa emergenza spontanea dell’ordine nei punti critici di instabilità, spesso detta semplicemente “emergenza”, è stata riconosciuta come una delle caratteristiche distintive della vita, come approfondiremo nel Capitolo 8. La spiegazione delle dinamiche che la sottendono, di cui fu pioniere il chimico-fisico Ilya Prigogine, è forse il contributo più importante della teoria della complessità alla visione sistemica della vita.

Dato che esiste soltanto un numero limitato di attrattori differenti, vi è anche un numero limitato di differenti tipologie di eventi di biforcazione e, come gli attrattori, le biforcazioni possono essere classificate topologicamente. Uno dei primi a farlo è stato il matematico francese René Thom negli anni settanta, che usò il termine “catastrofi” invece di “biforcazioni” e identificò sette catastrofi elementari. Oggi i matematici conoscono circa il triplo di tipologie di biforcazioni. Il teorico del caos Ralph Abraham (1982) e l’artista grafico Christopher Shaw hanno creato una serie di libri matematici visivi, senza alcuna formula o equazione, che essi considerano l’inizio di una completa enciclopedia delle biforcazioni.

Geometria dei frattali

 

“Un linguaggio per parlare di nuvole”

Durante gli anni sessanta e settanta, mentre venivano esplorati i primi attrattori strani, venne inventata, indipendentemente dalla teoria del caos, una nuova geometria, chiamata “geometria dei frattali”, che fornì un potente linguaggio matematico per descrivere la struttura sottile degli attrattori caotici. L’autore di questo nuovo linguaggio è il matematico Benoît Mandelbrot (1924-2010). Alla fine degli anni cinquanta, Mandelbrot iniziò a studiare la geometria di un’ampia gamma di fenomeni naturali irregolari, e durante gli anni sessanta si rese conto che tutte queste forme geometriche avevano delle sorprendenti caratteristiche comuni. 

Nel corso dei dieci anni successivi, Mandelbrot inventò un nuovo tipo di matematica per descrivere e analizzare tali caratteristiche. Coniò il termine “frattale” per caratterizzare la sua invenzione e pubblicò i suoi risultati nell’opera fondamentale, The Fractal Geometry of Nature (Mandelbrot, 1983), che esercitò una notevole influenza sulla nuova generazione di matematici che stava sviluppando la teoria del caos e altre branche della dinamica non-lineare.

Una delle migliori introduzioni alla geometria dei frattali è un documentario realizzato dal matematico Heinz-Otto Peitgen (Peitgen et al., 1990), che contiene delle animazioni eccezionali e un’affascinante intervista a Benoît Mandelbrot. In questa intervista, Mandelbrot spiega che la geometria dei frattali tratta di un aspetto della natura che quasi tutti avevano notato, ma che nessuno era stato in grado di descrivere nei termini formali della matematica. Alcune caratteristiche della natura sono geometriche in senso tradizionale. Il tronco di un albero è più o meno un cilindro; la luna piena appare più o meno come un disco circolare; i pianeti ruotano attorno al sole in orbite quasi ellittiche. Ma queste sono eccezioni, come ci ricorda Mandelbrot (citato in Capra, 1996): “La Natura è in gran parte molto, molto complicata. Come potremmo descrivere una nuvola? Una nuvola non è una sfera […] È una sorta di palla molto irregolare. Una montagna? Una montagna non è un cono […] se vogliamo parlare di nuvole, di montagne, di fiumi, di fulmini, il linguaggio geometrico che si impara a scuola si rivela inadeguato”.

E così Mandelbrot ha creato la geometria dei frattali – un “linguaggio per parlare di nuvole” – per descrivere e analizzare la complessità delle forme irregolari nel mondo naturale che ci circonda.

L’autosomiglianza (self-similarity)

La proprietà più sorprendente di queste figure frattali è che le loro caratteristiche configurazioni si riscontrano ripetutamente su ordini di grandezza decrescenti, cosicché le loro parti, ad ogni livello, hanno una forma simile al tutto. 

Mandelbrot illustra questa proprietà di “autosomiglianza” staccando un pezzo di un cavolfiore e notando che, in sé, quel pezzo appare esattamente come un piccolo cavolfiore. Egli ripete tale dimostrazione suddividendo ulteriormente la parte staccata, da cui ricava un altro pezzo, che a sua volta appare come un cavolfiore molto piccolo. Dunque ogni parte assomiglia all’intero cavolfiore. La forma dell’intero è simile a sé stessa a ogni ordine di grandezza.

Ci sono molti altri esempi di autosomiglianza in natura. Le rocce sulle montagne assomigliano a piccole montagne; le ramificazioni dei fulmini, o i bordi delle nuvole, ripetono di continuo lo stesso pattern; le linee costiere possono essere divise in porzioni sempre più piccole, e ognuna manifesta disposizioni simile di spiagge e promontori. Le fotografie del delta di un fiume, le ramificazioni di un albero o le ripetute diramazioni dei vasi sanguigni possono evidenziare pattern di una somiglianza talmente sorprendente che non siamo in grado di distinguere una cosa dall’altra. Questa somiglianza fra immagini di ordini di grandezza immensamente diversi era conosciuta da tempo, ma prima di Mandelbrot nessuno possedeva un linguaggio matematico adatto a descriverla. 

Quando Mandelbrot pubblicò il suo testo pionieristico, non era ancora a conoscenza delle connessioni fra la geometria dei frattali e la teoria del caos, ma non ci volle molto perché lui e i suoi colleghi si rendessero conto che gli attrattori strani erano degli esempi perfetti di frattali. Se si ingrandisce una parte della loro struttura, essi evidenziano una sottostruttura a più strati in cui gli stessi pattern si ripetono continuamente. È dunque divenuta una prassi definire gli attrattori strani come traiettorie nello spazio delle fasi che esibiscono una geometria frattale.

Le dimensioni frattali

Un altro importante legame tra la teoria del caos e la geometria dei frattali è lo spostamento di attenzione dalla quantità alla qualità. Come abbiamo visto, è impossibile prevedere i valori delle variabili di un sistema caotico in un dato momento, ma possiamo prevedere le caratteristiche qualitative del comportamento del sistema. Allo stesso modo, è impossibile calcolare la lunghezza o l’area di una figura frattale, ma possiamo definire il grado di “frastagliatura” da un punto di vista qualitativo.

Mandelbrot ha sottolineato questa caratteristica impressionante delle figure frattali ponendo una domanda provocatoria: quanto è lunga la costa della Gran Bretagna? Egli ha dimostrato che, dato che la lunghezza misurata può essere estesa indefinitamente procedendo su ordini di grandezza sempre più piccoli, non esiste risposta definita alla domanda. 

Tuttavia, è possibile definire un numero, tra 1 e 2, che caratterizzi il grado di frastagliatura della costa. Per ciò che riguarda la costa britannica, questo numero è approssimativamente 1,58; nel caso della ben più frastagliata costa norvegese è approssimativamente 1,70.

Poiché si può dimostrare che questo numero possiede alcune delle proprietà di una dimensione, Mandelbrot la chiama una dimensione frattale. Possiamo capire intuitivamente quest’idea rendendoci conto che una linea frastagliata su un piano riempie più spazio di una linea retta che ha dimensione 1, ma comunque meno del piano che ha dimensione 2. Più frastagliata è la linea, più la sua dimensione frattale sarà vicina a 2. In modo analogo, un pezzo di carta accartocciato riempie più spazio di un foglio liscio ma meno di una sfera. Perciò, più il foglio è accartocciato, più la sua dimensione frattale si avvicinerà a 3.

Questo concetto di dimensione frattale, che all’inizio era soltanto un’idea matematica puramente astratta, è diventato uno strumento molto potente per analizzare la complessità delle forme frattali, poiché corrisponde molto bene alla nostra esperienza della natura. Più frastagliati sono i lineamenti dei fulmini o i contorni di una nuvola, più irregolari le sagome delle coste o delle montagne, maggiori saranno le loro dimensioni frattali.

Modelli di figure frattali

Per creare modelli di figure frattali che esistono in natura, possiamo costruire delle figure geometriche che esibiscono una perfetta autosomiglianza. La tecnica principale per costruire questi frattali matematici è l’iterazione, cioè la continua ripetizione di una certa operazione geometrica. Il processo di iterazione, che ci ha condotto alla trasformazione del fornaio, la funzione matematica che è alla base degli attrattori strani, si rivela dunque come la qualità matematica fondamentale che lega insieme la teoria del caos e la geometria dei frattali.

Una delle figure frattali più semplici generate dall’iterazione è la cosiddetta curva di Koch, o “fiocco di neve di Koch”. L’operazione geometrica consiste nel dividere la linea in tre parti uguali e nel sostituire la sezione centrale con due lati di un triangolo equilatero, come mostra la Figura 6.11. Continuando a ripetere tale operazione ogni volta su scale sempre più piccole, viene a crearsi un fiocco di neve frastagliato (Fig. 6.12). Così come accade con una linea costiera, anche la curva di Koch diventa infinitamente lunga se l’iterazione viene ripetuta all’infinito. In effetti, la curva di Koch può essere vista come un modello molto grossolano di un profilo costiero (Fig. 6.13).

Con queste nuove tecniche matematiche, gli scienziati sono riusciti a costruire dei modelli accurati di un’ampia gamma di forme naturali irregolari e, così facendo, hanno scoperto che i frattali appaiono ovunque. I pattern frattali delle nuvole, che fornirono a Mandelbrot la prima ispirazione per ricercare un nuovo linguaggio matematico, sono forse i più sbalorditivi. La loro autosomiglianza si propaga per sette ordini di grandezza, il che significa che il contorno di una nuvola ingrandito dieci milioni di volte mostra ancora lo stesso profilo familiare.

Conclusione

Nell’agosto del 1985 “Scientific American” pubblicò l’insieme di Mandelbrot in copertina, allegando alla rivista un programma iterativo e centinaia di appassionati di computer caricarono il programma per intraprendere un loro personale viaggio nell’insieme dal computer di casa. A forme e pattern sono stati aggiunti colori vividi, e i fermoimmagine di questi viaggi sono stati pubblicati in numerosi libri ed esposti in mostre di computer art in tutto il mondo. 

Mandelbrot considerava il grande successo della geometria dei frattali al di fuori della comunità matematica uno sviluppo molto positivo. Sperava che avrebbe posto fine all’isolamento della matematica e alla diffusa ignoranza del linguaggio matematico anche fra persone con un alto livello di istruzione. 

Questo isolamento della matematica è un segno evidente della nostra frammentazione culturale e, come tale, è un fenomeno relativamente recente. Nel corso dei secoli molti grandi matematici hanno dato contributi di altissimo livello anche in altri campi. Nell’XI secolo, il poeta persiano Omar Khayyam, famoso nel mondo come autore delle Quartine o Rub’aiyyat, scrisse anche un libro pionieristico sull’algebra e fu al servizio del califfo come astronomo. Cartesio, il fondatore della filosofia moderna, era un brillante matematico e praticava anche la medicina. Entrambi gli inventori del calcolo differenziale, Newton e Leibniz, erano attivi in molti altri campi oltre che nella matematica. Newton era un “filosofo naturale” che apportò contributi fondamentali praticamente in tutte le branche della scienza dell’epoca, oltre a studiare alchimia, teologia e storia. Leibniz è noto soprattutto come filosofo, ma fu anche il fondatore della logica simbolica e fu attivo come diplomatico e storico per gran parte della sua vita. Il grande matematico Gauss era anche fisico e astronomo, e inventò parecchi strumenti utili, incluso il telegrafo elettrico. 

Questi esempi, ai quali se ne potrebbero aggiungere molti altri, mostrano che nel corso della storia la matematica non è mai stata separata dalle altre aree della conoscenza e delle attività umane. Nel XX secolo, tuttavia, l’aumento del riduzionismo, della frammentazione e della specializzazione ha portato ad un estremo isolamento della matematica, anche all’interno della comunità scientifica. Il grande fascino esercitato dalla teoria del caos e dalla geometria dei frattali su persone attive in tutte le discipline – dagli scienziati, ai manager, agli artisti – potrebbe effettivamente essere un segnale promettente che l’isolamento della matematica stia per finire. Oggi, grazie alla teoria della complessità, un numero sempre maggiore di persone si sta rendendo conto che la matematica è molto più di aride formule, che la comprensione dei pattern è cruciale per capire il mondo vivente intorno a noi e che tutte le questioni relative a pattern, ordine e complessità sono essenzialmente matematiche.


Fritjof Capra, fisico e teorico dei sistemi di fama internazionale, è autore di libri importanti e molto celebrati, tra cui Il Tao della fisica (Adelphi, 1982). Per Aboca Edizioni ha pubblicato diversi volumi, tra i quali: Crescita qualitativa (con Hazel Henderson, 2013), Leonardo e la botanica (2018), Discorso sulle erbe (con Stefano Mancuso, 2019).
Pier Luigi Luisi è professore di Biochimica all’Università di Roma Tre. Ha iniziato la sua carriera all’Istituto Federale Svizzero di Tecnologia a Zurigo (ETHZ). Il suo principale interesse di ricerca riguarda gli aspetti sperimentali, teorici e filosofici dell’origine della vita e dell’auto-organizzazione dei sistemi naturali e sintetici.

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6 comments on “La teoria della complessità

  1. Interessante ,una divulgazione chiara e alla portata di tutti di teorie matematiche complesse e sconosciute,grazie per aver contribuito ad aprire la mente al meraviglioso mondo della scienza matematica.

  2. Franco casula

    Che bell’articolo

  3. Antonella de Grandis

    Interessantissimo. Insegno Arte nella scuola secondaria di primo grado. La lettura mi ha gettato in una “rapida”; non sono brava con i numeri ma questo viaggio apre a punti di vista vitali e per me riflessivo. Grazie

  4. GIACOMO MILAZZO

    In un punto dell’articolo si cita “Come abbiamo visto nel caso della trasformazione del fornaio” ma non c’è nessun punto precedente dove questa c.d. “trasformazione del fornaio” venga introdotta.

  5. GIACOMO MILAZZO

    Salve, vorrei sapere qual è il libro del 2002 di Ian Stewart che è più volte citato nell’articolo.
    Grazie.

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